[论文解读] On the classifying space of the family of finite and of virtually cyclic subgroups for CAT(0)-groups

Wolfgang Lueck|ArXiv.org|Feb 4, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 13被引用 5

一句话总结

本文建立了有限子群和拟循环子群的分类空间在作用于完备 CAT(0) 空间上的 CAT(0) 群体上的维数界限。利用几何群论和 CAT(0) 空间的性质，证明了当空间的拓扑维数为 d（d=1 或 d≥3，d≠2）时，适当作用的分类空间维数至多为 d，而拟循环子群的分类空间维数至多为 d+1。

ABSTRACT

Let G be a discrete group which acts properly and isometrically on a complete CAT(0)-space X. Consider an integer d with d=1 or d greater or equal to 3 such that the topological dimension of X is bounded by d. We show the existence of a G-CW-model E_fin(G) for the classifying space for proper G-actions with dim(E_fin(G)) less or equal to d. Provided that the action is also cocompact, we prove the existence of a G-CW-model E_vcyc(G) for the classifying space of the family of virtually cyclic subgroups such that dim(E_vcyc(G)) is less or equal to d+1.

研究动机与目标

• 建立离散群在完备 CAT(0) 空间上适当且等距作用时，适当作用分类空间（记为 $\underline{E}G$）的维数界限。
• 在共紧性或半单性假设下，将此结果推广至拟循环子群族的分类空间（$\underline{\underline{E}}G$）。
• 在 CAT(0) 几何背景下，解决 $\underline{E}G$ 与 $\underline{\underline{E}}G$ 之间的维数间隙问题，特别是当空间的拓扑维数不为 2 时。
• 在适当条件下，验证 CAT(0) 群体的猜想不等式 $\operatorname{hdim}^{G}(\underline{E}G)-1 \leq \operatorname{hdim}^{G}(\underline{\underline{E}}G) \leq \operatorname{hdim}^{G}(\underline{E}G)+1$。
• 在非正曲率黎曼流形和共紧作用的几乎无挠群等几何设定下，提供精确的维数估计。

提出的方法

• 利用 CAT(0) 空间 $X$ 的几何性质，构造了适当 $G$-作用分类空间的 $G$-CW 模型 $\underline{E}G$。
• 应用定理 2.11 (ii)，推导出若 $X$ 的拓扑维数 $\leq d$，则 $\underline{E}G$ 允许一个 $d$-维模型。
• 通过分析无限循环子群 $C \subseteq G$ 的正规化子和 Weyl 群，利用生成元 $g$ 的极小集 $\operatorname{Min}(g)$ 上的作用。
• 在子空间 $Y(g) \subseteq X$ 上构造 $W_G C$-作用，该子空间具有更低的拓扑维数，继承了 CAT(0) 结构，从而可在 Weyl 群上进行归纳。
• 应用文献 [11] 中关于族的分类空间维数界限的结果，特别是推论 5.4，以关联 $\operatorname{hdim}(\underline{E}G)$ 与 $\operatorname{hdim}(\underline{\underline{E}}G)$。
• 利用完备黎曼流形若具有非负截面曲率，则为 CAT(0) 空间这一事实，并将其应用于具有共紧 $G$-作用的流形。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否以群 $G$ 作用于完备 CAT(0) 空间 $X$ 的拓扑维数为基准，对适当 $G$-作用分类空间 $\underline{E}G$ 的维数进行界定？
• RQ2 在什么条件下，当 $\operatorname{top-dim}(X) \leq d$ 时，拟循环子群族的分类空间 $\underline{\underline{E}}G$ 允许一个维数至多为 $d+1$ 的模型？
• RQ3 当 $\operatorname{top-dim}(X) \neq 2$ 时，不等式 $\operatorname{hdim}^{G}(\underline{E}G)-1 \leq \operatorname{hdim}^{G}(\underline{\underline{E}}G) \leq \operatorname{hdim}^{G}(\underline{E}G)+1$ 是否对 CAT(0) 群体成立？
• RQ4 当群 $G$ 共紧且等距作用于一个 simply connected、完备的 $n$-维黎曼 $n$-流形且具有非负曲率时，$\underline{E}G$ 和 $\underline{\underline{E}}G$ 的精确维数界限是什么？
• RQ5 在双曲或欧几里得群等几何群论设定下，$\underline{E}G$ 与 $\underline{\underline{E}}G$ 之间的维数间隙能否被完全刻画？

主要发现

• 对于在完备 CAT(0) 空间 $X$ 上适当且等距作用的离散群 $G$，若 $\operatorname{top-dim}(X) \leq d$ 且 $d=1$ 或 $d \geq 3$，则存在一个维数至多为 $d$ 的 $G$-CW 模型 $\underline{E}G$。
• 若作用由半单等距变换实现（例如共紧作用），则存在一个维数至多为 $d+1$ 的 $G$-CW 模型 $\underline{\underline{E}}G$，用于拟循环子群族。
• 当 $\operatorname{top-dim}(X) = \operatorname{hdim}^{G}(\underline{E}G) \neq 2$ 时，不等式 $\operatorname{hdim}^{G}(\underline{E}G)-1 \leq \operatorname{hdim}^{G}(\underline{\underline{E}}G) \leq \operatorname{hdim}^{G}(\underline{E}G)+1$ 成立。
• 对于一个几乎无挠群 $G$，若其共紧且等距作用于一个 simply connected、完备的 $n$-维黎曼流形且具有非负截面曲率，则 $\operatorname{hdim}(\underline{E}G) = n$ 且 $n-1 \leq \operatorname{hdim}(\underline{\underline{E}}G) \leq n+1$。
• 当 $G$ 是闭双曲 $n$-流形的基本群时，$\operatorname{hdim}(\underline{E}G) = \operatorname{hdim}(\underline{\underline{E}}G) = n$。
• 当 $G$ 几乎同构于 $\mathbb{Z}^n$ 且 $n \geq 2$ 时，$\operatorname{hdim}(\underline{E}G) = n$ 且 $\operatorname{hdim}(\underline{\underline{E}}G) = n+1$，表明维数间隙的两个极端情况均被实现。