[论文解读] On the Combinatorial Power of the Weisfeiler-Lehman Algorithm

Martin Fürer|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2017

graph theory and CDMA systems参考文献 13被引用 7

一句话总结

本文研究了 Weisfeiler-Lehman 算法，特别是 WL[2]，在区分图不变量方面的组合能力。结果表明，WL[2] 可以确定长度不超过 6 的环的数量以及 4-团的数量，但无法检测 8-环和 4-团，说明尽管 WL[2] 具有强大的区分能力，其在组合检测方面仍存在局限性，与这些不变量互不包含。

ABSTRACT

The classical Weisfeiler-Lehman method WL[2] uses edge colors to produce a powerful graph invariant. It is at least as powerful in its ability to distinguish non-isomorphic graphs as the most prominent algebraic graph invariants. It determines not only the spectrum of a graph, and the angles between standard basis vectors and the eigenspaces, but even the angles between projections of standard basis vectors into the eigenspaces. Here, we investigate the combinatorial power of WL[2]. For sufficiently large k, WL[k] determines all combinatorial properties of a graph. Many traditionally used combinatorial invariants are determined by WL[k] for small k. We focus on two fundamental invariants, the num- ber of cycles Cp of length p, and the number of cliques Kp of size p. We show that WL[2] determines the number of cycles of lengths up to 6, but not those of length 8. Also, WL[2] does not determine the number of 4-cliques.

研究动机与目标

• 分析 Weisfeiler-Lehman 算法，特别是 WL[2]，在检测基本图不变量方面的组合能力。
• 确定 WL[2] 是否能够唯一识别各种长度的环数以及特定大小的团数。
• 研究 WL[2] 在区分非同构图（其边颜色分布相同）方面的局限性。
• 阐明 WL[2] 与经典组合不变量（如环数和团数）之间的关系。
• 通过显式反例，确立 WL[2] 与某些不变量（如 4-团数和 8-环数）之间的不可比性。

提出的方法

• 本研究使用 CFI 构造生成一对非同构的强正则图 G 和 G̃，由于边颜色多重性相同，WL[2] 无法区分它们。
• 通过暴力算法计算环数，即从每个顶点出发枚举所有长度为 k 的环，利用顶点传递性计算总环数。
• 对边着色的完全有向图应用 WL[2] 着色过程，其中颜色根据两跳邻居颜色模式的多重集进行细化。
• 对于 WL[k]，该方法将着色扩展至顶点 k 元组，通过筛选操作从每个位置用新顶点替换生成颜色多重集。
• 通过计算枚举比较 G 和 G̃ 在不同长度下的环数与团数，验证其差异。
• 理论论证得到来自 Cycle Count 程序的实证数据支持，结果以表格形式列出长度从 1 到 16 的环数。

实验结果

研究问题

• RQ1 WL[2] 能否确定图中长度为 8 的环的数量？
• RQ2 WL[2] 是否能检测图中 4-团的数量？
• RQ3 WL[2] 与 4-团计数这一不变量是否可比？还是不可比？
• RQ4 对于哪些环长度，WL[2] 无法区分非同构图之间的环数？
• RQ5 WL[2] 与计数小子图（如环和团）的复杂性之间存在何种关系？

主要发现

• 对于 k ≤ 6，WL[2] 可以确定环的数量，因为在 CFI 生成的图 G 和 G̃ 中，k ≤ 6 的环数完全相同。
• WL[2] 无法确定 8-环的数量，因为 G 和 G̃ 的 8-环数不同，分别为 11,952 和 11,688。
• WL[2] 无法确定 4-团的数量，因为 G 包含 8 个团，而 G̃ 中一个也不存在，尽管它们的边颜色分布完全相同。
• 4-团计数与 WL[2] 之间不可比，因为存在 WL[2] 可区分非同构图但 4-团计数无法区分的情况。
• 对于 k ≤ 7，环计数可在 O(n^ω) 时间内完成，得益于矩阵乘法技术；但对于 k ≥ 8，问题变为 #W-完全，表明复杂度发生跃迁。
• 以正四面体为基图的 CFI 构造产生了一对非同构图，它们在 WL[2] 下不可区分，但在长度 8 及以上时，其环数与团数存在差异。