[论文解读] On the Commuting Local Hamiltonian Problem, and Tight Conditions on Topological Order

Dorit Aharonov, Lior Eldar|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2011

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 4被引用 1

一句话总结

本文将Bravyi与Vyalyi在2003年关于可交换局部哈密顿量的结果扩展至量子比特与量子三重态在平面或近似欧几里得晶格上的三体相互作用，证明该问题仍属于NP类，且基态纠缠具有局域性。研究揭示了一种类量子相变：具有量子比特/量子三重态的3-local可交换哈密顿量无法实现拓扑序，而4-local或更高维度的系统则可以——这表明Kitaev的任意子码在构造此类系统时是最优的。

ABSTRACT

The local Hamiltonian problem plays the equivalent role of SAT in quantum complexity theory. Understanding the complexity of the intermediate case in which the constraints are quantum but all local terms in the Hamiltonian commute, is of importance for conceptual, physical and computational complexity reasons. Bravyi and Vyalyi showed in 2003, using a clever application of the representation theory of C*-algebras, that if the terms in the Hamiltonian are all two-local, the problem is in NP, and the entanglement in the ground states is local. The general case remained open since then. In this paper we extend the results of Bravyi and Vyalyi beyond the two-local case, to the case of three-qubit interactions. We then extend our results even further, and show that NP verification is possible for three-wise interaction between qutrits as well, as long as the interaction graph is embedded on a planar lattice, or more generally, Nearly Euclidean (NE). The proofs imply that in all such systems, the entanglement in the ground states is local. These extensions imply an intriguing sharp transition phenomenon in commuting Hamiltonian systems: 3-local NE systems based on qubits and qutrits cannot be used to construct Topological order, as their entanglement is local, whereas for higher dimensional qudits, or for interactions of at least 4 qudits, Topological Order is already possible, via Kitaev's Toric Code construction. We thus conclude that Kitaev's Toric Code construction is optimal for deriving topological order based on commuting Hamiltonians.

研究动机与目标

• 将Bravyi与Vyalyi在2003年关于两体局部可交换哈密顿量的结果推广至三体相互作用。
• 确定对于三量子比特与三量子三重态相互作用，可交换局部哈密顿量问题是否仍属于NP类。
• 研究此类可交换系统基态中纠缠的性质。
• 确定在可交换哈密顿量系统中拓扑序出现的最小条件。
• 确立Kitaev的任意子码构造在通过可交换哈密顿量实现拓扑序方面的最优性。

提出的方法

• 将Bravyi与Vyalyi在C*-代数中使用的表示理论技术扩展至三体相互作用。
• 分析平面晶格与近似欧几里得（NE）晶格上可交换哈密顿量的结构，以约束基态纠缠。
• 应用代数与拓扑约束，对可能的基态及其纠缠特性进行分类。
• 利用相互作用晶格的图论嵌入，确保NP验证框架的适用性。
• 证明三体系统中不存在长程纠缠，从而表明局部哈密顿量问题的NP完全性。
• 以Kitaev的任意子码为基准，比较可交换哈密顿量系统中拓扑序的阈值。

实验结果

研究问题

• RQ1 在平面晶格上，三体量子比特相互作用的可交换局部哈密顿量问题是否可在NP类中验证？
• RQ2 三体可交换哈密顿量基态中的纠缠是否严格局域？
• RQ3 在可交换哈密顿量模型中，实现拓扑序所需的最小相互作用强度或系统维度是多少？
• RQ4 基于相互作用局部性与量子三重态维度，是否存在系统支持拓扑序与不支持拓扑序之间的显著相变？
• RQ5 Kitaev的任意子码构造在通过可交换哈密顿量实现拓扑序方面是否最优？

主要发现

• 在平面或近似欧几里得晶格上，三体量子比特与量子三重态相互作用的可交换局部哈密顿量问题属于NP类。
• 此类系统的基态仅表现出局域纠缠，不具有长程或拓扑关联。
• 存在显著相变：使用量子比特或量子三重态的三体系统无法实现拓扑序，而四体或更高维度的量子三重态系统可以。
• 仅当相互作用至少为四体或涉及维度≥4的量子三重态时，才能通过Kitaev的任意子码构造实现拓扑序。
• Kitaev的任意子码在通过可交换哈密顿量构造拓扑序方面是最优的，因其满足最小必要条件。