[论文解读] On the Complex Affine Structures of SYZ Fibration of Del Pezzo Surfaces

Siu-Cheong Lau, Tsung-Ju Lee+1 more|arXiv (Cornell University)|May 11, 2020

Geometric and Algebraic Topology参考文献 23被引用 4

一句话总结

本文建立了 $\mathbb{P}^2$ 中光滑三次曲线 $E$ 的补集上 SYZ 纤维丛的复仿射结构与 Gross–Siebert 程序用于镜像构造的仿射结构之间的直接对应关系。通过浸入拉格朗日子流形的 Floer 理论黏合方法，作者构造了一个与 Carl–Pomperla–Siebert 镜像一致的镜像，从而确认了 Del Pezzo 曲面的辛几何与代数镜像对称之间的深层联系。

ABSTRACT

Given any smooth cubic curve $E\subseteq \mathbb{P}^2$, we show that the complex affine structure of the special Lagrangian fibration of $\mathbb{P}^2\setminus E$ constructed by Collins--Jacob--Lin arXiv:1904.08363 coincides with the affine structure used in Carl--Pomperla--Siebert for constructing mirror. Moreover, we use the Floer-theoretical gluing method to construct a mirror using immersed Lagrangians, which is shown to agree with the mirror constructed by Carl--Pomperla--Siebert.

研究动机与目标

• 建立 $\mathbb{P}^2 \setminus E$ 上 SYZ 纤维丛的复仿射结构与 Gross–Siebert 镜像构造中所用仿射结构之间的对应关系。
• 通过浸入拉格朗日子流形的 Floer 理论黏合方法，为 $\mathbb{P}^2 \setminus E$ 构造一个镜像。
• 证明通过 Floer 理论构造的镜像与通过 Gross–Siebert 程序构造的镜像一致。
• 展示 SYZ 纤维丛的仿射结构与代数镜像对称程序中散射图所生成的仿射结构一致。

提出的方法

• 作者利用 Collins–Jacob–Lin 构造的 $\mathbb{P}^2 \setminus E$ 上的特殊拉格朗日子纤维丛，在底空间上定义了一个复仿射结构。
• 他们将此仿射结构与 Carl–Pomperla–Siebert 通过散射图构造镜像时所用的结构相匹配。
• 利用族 Floer 同调框架，通过浸入拉格朗日子环面的 Maurer–Cartan 元素构造镜像。
• 通过 Fukaya 同构进行局部镜像图的黏合，整合了 Maslov 指数为零的全纯盘带来的量子修正。
• 该构造考虑了奇点纤维，这些奇点纤维是 Maslov 指数为零的全纯盘的来源，并驱动了量子修正。
• 作者分析了全纯盘及其边界条件的行为，以将热带盘计数与开 Gromov–Witten 不变量相匹配。

实验结果

研究问题

• RQ1 SYZ 纤维丛在 $\mathbb{P}^2 \setminus E$ 上的复仿射结构是否与 Gross–Siebert 镜像构造中所用的仿射结构一致？
• RQ2 能否通过浸入拉格朗日子流形的 Floer 理论黏合方法构造 $\mathbb{P}^2 \setminus E$ 的镜像？
• RQ3 通过 Floer 理论获得的镜像是否与通过 Gross–Siebert 程序构造的镜像等价？
• RQ4 来自奇点纤维的 Maslov 指数为零的全纯盘如何贡献于镜像中的量子修正？
• RQ5 复仿射结构在连接 Del Pezzo 曲面的辛几何与代数镜像对称中的作用是什么？

主要发现

• SYZ 纤维丛在 $\mathbb{P}^2 \setminus E$ 上的复仿射结构与 Carl–Pomperla–Siebert 镜像构造中所用的仿射结构完全一致。
• 通过浸入拉格朗日子流形的 Floer 理论黏合所构造的镜像与 Gross–Siebert 程序的镜像一致。
• Maslov 指数为零的全纯盘带来的量子修正被黏合过程完整捕获，与散射图结构相匹配。
• 通过第三作者框架定义的开 Gromov–Witten 不变量与热带盘计数一致，证实了与代数方法的一致性。
• 镜像映射 $G(q)$ 的虚部位于 $\sqrt{-1} \cdot \mathbb{R}_+$ 中，当 $q < 3$ 时成立，且 $\lim_{q \to -\infty} G(q) = \sqrt{-1} \cdot \infty$，确认了收敛性与无穷远处的行为。
• 对全纯盘及其边界行为的分析表明，边界此类盘的特殊拉格朗日子纤维的集合在底空间中形成仿射直线，与仿射结构一致。