[论文解读] On the Complexity of Embeddable Simplicial Complexes

Anna Gundert|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2018

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 23被引用 6

一句话总结

本文研究了在 $\mathbb{R}^r$ 中可嵌入的单纯复形中 $d$-单体的最大数量，其中 $d \leq r \leq 2d$。通过循环多面体构造，建立了 $\Omega(n^{ \lceil r/2 \rceil})$ 的下界；并通过极值超图理论与禁止子复形方法，推导出 $O(n^{d+1 - 1/3^d})$ 的上界，证明当 $r = 2d$ 时该下界是紧的。研究揭示了可嵌入性与极值组合数学中的结构性限制与开放问题。

ABSTRACT

This thesis addresses the question of the maximal number of $d$-simplices for a simplicial complex which is embeddable into $\mathbb{R}^r$ for some $d \leq r \leq 2d$. A lower bound of $f_d(C_{r + 1}(n)) = Ω(n^{\lceil\frac{r}{2} ceil})$, which might even be sharp, is given by the cyclic polytopes. To find an upper bound for the case $r=2d$ we look for forbidden subcomplexes. A generalization of the theorem of van Kampen and Flores yields those. Then the problem can be tackled with the methods of extremal hypergraph theory, which gives an upper bound of $O(n^{d+1-\frac{1}{3^d}})$. We also consider whether these bounds can be improved by simple means.

研究动机与目标

• 确定在 $n$ 个顶点的单纯复形中，可嵌入 $\mathbb{R}^r$ 的 $d$-单体的最大数量，其中 $d \leq r \leq 2d$。
• 在该范围内建立可嵌入单纯复形大小的紧致下界与上界。
• 探讨循环多面体构造是否在 $r = 2d$ 时提供最优下界。
• 研究极值超图理论是否可通过识别禁止子复形来获得改进的上界。

提出的方法

• 利用循环多面体作为显式构造，实现可嵌入复形的 $\Omega(n^{\lceil r/2 \rceil})$ 下界。
• 应用 van Kampen–Flores 定理，在 $r = 2d$ 情况下识别禁止子复形，将问题转化为极值超图理论问题。
• 通过将 $d$-面建模为 $(d+1)$-一致超图中的超边，将可嵌入性问题转化为超图极值问题。
• 应用已知的极值超图理论结果，对超边数量进行上界估计，得出 $O(n^{d+1 - 1/3^d})$ 的上界。
• 通过推导极值函数 $\operatorname{ex}(n, \mathcal{F}_d)$ 的下界，分析上界的紧致性，证明其为 $\Omega(n^{d+1 - 2(d+1)/(3^{d+1}-1)})$。
• 考虑结构猜想，如每个可嵌入复形是否为某 simplicial $r$-球面的子复形，以探索上界改进的可能性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $r = 2d$ 时，$\Omega(n^{\lceil r/2 \rceil})$ 的下界是否紧致？
• RQ2 通过考虑禁止子式或细分而非子图，能否改进上界 $O(n^{d+1 - 1/3^d})$？
• RQ3 每个在 $\mathbb{R}^r$ 中可嵌入的 $d$-维复形是否都可作为具有 $O(n)$ 个顶点的 simplicial $r$-球面的子复形？
• RQ4 球面的上界定理在约束可嵌入复形大小方面起什么作用？
• RQ5 基于顶点邻域 $f$-向量的归纳技术能否推广至奇数维嵌入，以保持数量级界限？

主要发现

• 循环多面体 $C_{r+1}(n)$ 提供了一种构造，使得 $f_d(C_{r+1}(n)) = \Omega(n^{\lceil r/2 \rceil})$，且在 $r = 2d$ 时被认为是最优的。
• 在 $r = 2d$ 的情况下，仅通过添加更多单体无法改进循环多面体的下界，表明其紧致性。
• 利用极值超图理论，为 $r = 2d$ 可嵌入复形中 $d$-单体的数量建立了 $O(n^{d+1 - 1/3^d})$ 的上界。
• 对极值函数 $\operatorname{ex}(n, \mathcal{F}_d)$ 的下界估计为 $\Omega(n^{d+1 - 2(d+1)/(3^{d+1}-1)})$，表明该上界不易被改进。
• 研究指出，若在 $\mathcal{F}_d$ 中排除子式或细分，可能获得更优的界，但超图子式理论尚不成熟。
• 仍存在可能性：每个在 $\mathbb{R}^r$ 中可嵌入的 $d$-复形均为具有 $O(n)$ 个顶点的 simplicial $r$-球面的子复形，这将意味着上界为 $O(n^{\lfloor r/2 \rfloor})$，与循环多面体的阶数一致。