[论文解读] Tilings, packings and expected Betti numbers in simplicial complexes

Nermin Salepci, Jean-Yves Welschinger|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2018

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 17被引用 6

一句话总结

该论文证明了在有限单纯复形的迭代截面单纯复形中，随机子复形的归一化期望贝蒂数随着细分次数的增加，收敛到普遍的极限。通过使用标准过滤和细分中不相交单纯形的打包方法，作者推导出这些极限的单调性和上界，特别是在余维数为一的情况下，并引入了一种新的铺砌概念，该概念在截面单纯复形下保持可铺砌性，从而实现了对高阶细分中最大打包尺寸的系统估计。

ABSTRACT

Let $K$ be a finite simplicial complex. We prove that the normalized expected Betti numbers of a random subcomplex in its $d$-th barycentric subdivision $ ext{Sd}^d (K)$ converge to universal limits as $d$ grows to $+ \infty$. In codimension one, we use canonical filtrations of $ ext{Sd}^d (K)$ to upper estimate these limits and get a monotony theorem which makes it possible to improve these estimates given any packing of disjoint simplices in $ ext{Sd}^d (K)$. We then introduce a notion of tiling of simplicial complexes having the property that skeletons and barycentric subdivisions of tileable simplicial complexes are tileable. This enables us to tackle the problem: How many disjoint simplices can be packed in $ ext{Sd}^d (K)$, $d \gg 0$?

研究动机与目标

• 理解有限单纯复形的迭代截面单纯复形中随机子复形的期望贝蒂数的渐近行为。
• 在截面单纯复形的次数趋于无穷时，建立归一化期望贝蒂数的普遍收敛极限。
• 为单纯复形开发一种铺砌框架，使其在截面单纯复形下保持可铺砌性，并能系统地实现不相交单纯形的打包。
• 利用标准过滤和不相交单纯形打包，为期望贝蒂数的普遍极限提供上界估计。
• 将高阶截面单纯复形中不相交单纯形的最大打包问题与随机子复形的渐近拓扑联系起来。

提出的方法

• 作者通过在上链 $ \rho \to C^{k-1}(K; \bbZ/2\bbZ) $ 上定义概率测度，定义了 $ d $-阶截面单纯复形 $ \textup{Sd}^d(K) $ 中的随机子复形 $ V_{\rho} $，从而在子复形上诱导出一个随机变量。
• 他们分析了期望贝蒂数 $ \bbE_{\nu,d}(b_p) $，并证明归一化序列 $ \bbE_{\nu,d}(b_p) / ((n+1)!^d f_n(K)) $ 收敛到一个与初始复形 $ K $ 无关的普遍极限 $ e_{p,\nu}(n,k) $。
• 在余维数为一（$ k=1 $）的情况下，他们基于 $ \rho $ 在顶点处取值为零或一的个数，构建了 $ K $ 的标准过滤 $ K_i^\rho $，这些过滤在 $ \textup{Sd}^d(K) $ 上诱导出过滤，从而允许对期望贝蒂数进行单调性估计。
• 他们引入了单纯复形铺砌的概念，证明了骨架和可铺砌复形的截面单纯复形仍保持可铺砌性，从而实现了打包的递归构造。
• 通过标准 $ n $-单纯形 $ \triangle_n $ 的维数进行归纳，他们显式构造了 $ \textup{Sd}^d(\triangle_n) $ 中不相交单纯形的打包，其大小取决于铺砌的 $ h $-向量。
• 他们推导出此类打包中 $ j $-维单纯形数量的显式公式，表明当 $ j \neq n $ 时，数量按 $ 2^{n-1-s-j+p} $ 增长，并利用这些结果对期望贝蒂数进行上界估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 在迭代截面单纯复形中，随机子复形的归一化期望贝蒂数是否收敛到与初始单纯复形无关的普遍极限？
• RQ2 能否利用 $ \textup{Sd}^d(K) $ 的标准过滤，在余维数为一的情况下推导出期望贝蒂数的单调性和上界？
• RQ3 对于大的 $ d $，在 $ \textup{Sd}^d(K) $ 中最多能打包多少个不相交的 $ p $-维单纯形？这与随机子复形的拓扑有何关联？
• RQ4 单纯复形的铺砌概念与截面单纯复形如何相互作用？它能否用于系统地构造大规模的不相交单纯形打包？
• RQ5 渐近期望贝蒂数与铺砌的 $ h $-向量之间是否存在关系？该关系能否用于计算或估计普遍极限？

主要发现

• 归一化期望贝蒂数 $ \bbE_{\nu,d}(b_p) / ((n+1)!^d f_n(K)) $ 收敛到一个仅依赖于 $ n, k, p, \nu $ 的普遍极限 $ e_{p,\nu}(n,k) $，而与初始复形 $ K $ 无关。
• 在余维数为一的情况下（$ k=1 $），序列 $ \bbE_{\nu,d}(\tilde{b}_p) / (n+1)!^d $ 是递增且有上界的，收敛到极限 $ \tilde{e}_{p,\nu}(n,1) $，且满足 $ e_{p,\nu}(n,1) \geq \tilde{e}_{p,\nu}(n,1) > 0 $，当 $ p=0 $ 时等号成立。
• 对每个 $ d $，在 $ \textup{Sd}^d(\triangle_n) $ 中，不相交单纯形的最大打包中 $ j $-维单纯形的数量至少为 $ 2^{n-1-s-j+p} $，其中 $ j \in \{p, \ldots, \min(n-1-s+p, n-1)\} $，且具体数量取决于铺砌结构。
• 有限 $ n $-维单纯复形 $ K $ 的铺砌 $ \mathcal{T} $ 的 $ h $-向量决定了打包的渐近大小：在 $ \textup{Sd}(K) $ 中可打包 $ h_{p+1}(\mathcal{T}) + 2^p \sum_{s=0}^p \frac{h_s(\mathcal{T})}{2^s} $ 个不相交的 $ n $-单纯形，且两两交集的维数不超过 $ p-1 $。
• 此类打包中 $ j $-维单纯形的渐近数量由 $ h_{n+1-j+p}(\mathcal{T}) + 2^{n-1-j+p} \sum_{s=0}^{n-1-j+p} \frac{h_s(\mathcal{T})}{2^s} $ 给出，对 $ j \in \{p, \ldots, n-1\} $ 成立。
• 归一化最大期望贝蒂数的普遍极限 $ \lambda_{p,\nu}(n) $ 被证明等于由 $ \textup{Sd}^{d-1}(\mathcal{T}) $ 的铺砌 $ h $-向量导出的序列的极限，其显式渐近表达式包含二项式系数和 $ \nu $。