[论文解读] On the complexity of Putinar-Vasilescu's Positivstellensatz

Ngoc Hoang Anh, Victor Magron|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2021

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 16被引用 12

一句话总结

本文通過推導基本緊緻半代數集上非負多項式之平方和（SOS）表達的次數界，為Putinar-Vasilescu的Positivstellensatz建立了多項式時間複雜度界。結果顯示，對於單位球上的多項式優化，Moment-SOS層次結構的收斂速率為O(ε⁻⁶⁵)，顯著優於先前的指數界O(exp(ε⁻ᶜ))。

ABSTRACT

We provide a new degree bound on the weighted sum-of-squares (SOS) polynomials for Putinar-Vasilescu's Positivstellensatz. This leads to another Positivstellensatz saying that if $f$ is a polynomial of degree at most $2 d_f$ nonnegative on a semialgebraic set having nonempty interior defined by finitely many polynomial inequalities $g_j(x)\\ge 0$, $j=1,\\dots,m$ with $g_1:=L-\\|x\\|_2^2$ for some $L>0$, then there exist positive constants $\\bar c$ and $c$ depending on $f,g_j$ such that for any $\\varepsilon>0$, for all $k\\ge \\bar c \\varepsilon^{-c}$, $f$ has the decomposition \\begin{equation} \\begin{array}{l} (1+\\|x\\|_2^2)^k(f+\\varepsilon)=\\sigma_0+\\sum_{j=1}^m \\sigma_jg_j \\,, \\end{array} \\end{equation} for some SOS polynomials $\\sigma_j$ being such that the degrees of $\\sigma_0,\\sigma_jg_j$ are at most $2(d_f+k)$. Here $\\|\\cdot\\|_2$ denotes the $\\ell_2$ vector norm. As a consequence, we obtain a converging hierarchy of semidefinite relaxations for lower bounds in polynomial optimization on basic compact semialgebraic sets. The complexity of this hierarchy is $\\mathcal{O}(\\varepsilon^{-c})$ for prescribed accuracy $\\varepsilon>0$. In particular, if $m=L=1$ then $c=65$, yielding the complexity $\\mathcal{O}(\\varepsilon^{-65})$ for the minimization of a polynomial on the unit ball. Our result improves the complexity bound $\\mathcal{O}(\\exp(\\varepsilon^{-c}))$ due to Nie and Schweighofer in [Journal of Complexity 23.1 (2007): 135-150].

研究动机与目标

• 為多項式優化中的Putinar-Vasilescu的Positivstellensatz建立多項式時間複雜度界。
• 推導在具有球約束的緊緻半代數集上，非負多項式之平方和（SOS）表達的明確次數界。
• 透過達成多項式收斂率O(ε⁻ᶜ)來改進Nie與Schweighofer的指數收斂率O(exp(ε⁻ᶜ))。
• 針對單位球情形提供具體的收斂速率範例，得出c=65。
• 為全域多項式優化開發一個具有可控複雜度的收斂半定規劃鬆弛層次結構。

提出的方法

• 利用加權平方和表達，推導Putinar-Vasilescu的Positivstellensatz中SOS多項式的新型次數界。
• 引入形式為(1+‖x‖²)ᵏ(f+ε) = σ₀ + Σσⱼgⱼ的正定證書，其中σⱼ為次數至多為2(d_f + k)的SOS多項式。
• 應用權重函數的多項式逼近與透過齊次SOS多項式獲得的全域正定證書。
• 應用漸近分析以ε表示所需次數k的界，進而得出複雜度O(ε⁻ᶜ)。
• 使用引理7構造滿足次數與齊次性約束的齊次SOS多項式。
• 分析冰淇淋約束情形（g₁ = xₙ² - ‖x′‖²），透過ε的漸近等價性推導出明確常數c=65。

实验结果

研究问题

• RQ1 對於緊緻半代數集，Putinar-Vasilescu的Positivstellensatz中SOS表達的最優次數界為何？
• RQ2 在多項式優化中，Moment-SOS層次結構收斂至全域最小值的速度為何？
• RQ3 能否將單位球情形下的收斂複雜度從指數界O(exp(ε⁻ᶜ))改進為多項式界O(ε⁻ᶜ)？
• RQ4 單位球情形下，複雜度界O(ε⁻ᶜ)中的指數c之明確值為何？
• RQ5 權重函數及其多項式逼近的漸近行為如何影響最終的複雜度界？

主要发现

• 本文為Putinar-Vasilescu的Positivstellensatz建立了新次數界，進而導出多項式優化中收斂的半定規劃鬆弛層次結構。
• 對於任意ε > 0，分解式(1+‖x‖²)ᵏ(f+ε) = σ₀ + Σσⱼgⱼ在k ≥ c̄ε⁻ᶜ下成立，其中c̄與c為依賴於f與gⱼ的常數。
• 該層次結構的複雜度為O(ε⁻ᶜ)，此為ε⁻¹的多項式函數，優於先前的指數界O(exp(ε⁻ᶜ))。
• 在單位球情形（m=1, g₁=1−‖x‖²）下，指數c被證明為65，進而得出複雜度O(ε⁻⁶⁵)。
• 單位球的層次結構收斂速率為O(k⁻¹/⁶⁵)，確認了多項式收斂速率。
• 分析依賴於權重函數及其近似之漸近等價性，最終得出所需次數k的精確界。