[论文解读] Positivity certificates and polynomial optimization on non-compact semialgebraic sets

Ngoc Hoang Anh, Jean B. Lasserre+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 26, 2019

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 68被引用 15

一句话总结

本文通过使用雅可比技术改进普蒂纳尔和瓦西莱斯库的正定性证书，提出了一种针对非紧半代数集上多项式优化问题的新型半定规划松弛层次结构，实现了有限收敛和强对偶性。该研究提出了一种无需依赖大球技巧的数值方法，用于求解多项式方程组并实现近似全局优化。

ABSTRACT

In a first contribution, we revisit two certificates of positivity on (possibly non-compact) basic semialgebraic sets due to Putinar and Vasilescu [Comptes Rendus de l'Acad\\'emie des Sciences-Series I-Mathematics, 328(6) (1999) pp. 495-499]. We use Jacobi's technique from [Mathematische Zeitschrift, 237(2) (2001) pp. 259-273] to provide an alternative proof with an effective degree bound on the sums of squares multipliers in such certificates. As a consequence, it allows one to define a hierarchy of semidefinite relaxations for a general polynomial optimization problem. Convergence of this hierarchy to a neighborhood of the optimal value as well as strong duality and analysis are guaranteed. In a second contribution, we introduce a new numerical method for solving systems of polynomial inequalities and equalities with possibly uncountably many solutions. As a bonus, one may apply this method to obtain approximate global optimizers in polynomial optimization.

研究动机与目标

• 开发一种适用于非紧半代数集上多项式优化的实用算法框架，且不依赖于大球技巧。
• 为非紧集上普蒂纳尔型正定性证书中的平方和乘子提供有效的次数界。
• 建立一个半定规划松弛层次结构，保证收敛至全局最优值，并在强对偶性条件下实现有限收敛。
• 提出一种数值方法，用于求解具有不可数无穷多解的多项式方程与不等式组，适用于全局多项式优化。

提出的方法

• 通过雅可比技术重新审视普蒂纳尔与瓦西莱斯库的正定性证书，推导出平方和乘子的有效次数界。
• 为一般多项式优化问题在非紧基本半代数集上构建时刻-SOS型半定规划松弛层次结构。
• 实施一种递归SDP松弛方案，其中每一层次均将先前计算得到的最优值作为约束，以细化可行集。
• 通过在最优解唯一时强制满足矩矩阵的平坦扩张条件，确保层次结构的有限收敛性。
• 通过将最优值作为等式约束嵌入到顺序精炼过程中，将该方法应用于多项式方程与不等式组的求解。
• 采用带有统一分母的拉塞尔时刻-SOS层次结构，以确保数值稳定性并收敛至全局极小化点。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过平方和乘子的次数界，使非紧集上的普蒂纳尔型正定性证书具备算法有效性？
• RQ2 如何构建一个半定规划松弛层次结构，使其在无紧致性假设下仍能有限收敛至全局最优值？
• RQ3 能否设计一种数值方法，用于求解具有不可数无穷多解的多项式方程组，并获得近似全局最优解？
• RQ4 在非紧设置下，什么条件能确保时刻-SOS层次结构的有限收敛性？
• RQ5 如何避免使用大球技巧，同时仍能在多项式优化中认证全局最优性？

主要发现

• 本文为非紧集上普蒂纳尔型证书中的平方和乘子建立了有效的次数界，使算法实现成为可能。
• 提出了一种类半定规划松弛层次结构，在强对偶性和有限收敛条件下，可保证收敛至全局最优值。
• 当最优解唯一且满足平坦扩张条件时，时刻-SOS层次结构的有限收敛性得到保证。
• 通过在递归SDP精炼过程中将最优值作为约束嵌入，该方法可计算近似全局极小化点。
• 所提方法避免了大球技巧，并在无需预先知晓解的位置的情况下，提供了全局最优性的认证。
• 当SDP层次结构的最优值ηₖⁿ = ξₙ且满足平坦扩张时，其对应于在唯一全局极小化点x*处的1-原子表示测度。