[论文解读] On the Complexity of the Minimum Cost Homomorphism Problem for Reflexive Multipartite Tournaments

Gregory Gutin, Eun Jung Kim|ArXiv.org|Aug 19, 2007

Advanced Graph Theory Research参考文献 18被引用 3

一句话总结

本文針對有環的多分有向圖上的最小代價同態問題（MinHOMP）提供了二分分類，證明該問題若且唯若有向圖為有環的無環有向圖或特定類型的四頂點無環多分有向圖（帶有環），則為多項式時間可解。作者利用二分圖表示與結構分析，證明所有其他情況下問題為 NP-困難，從而解決了關於有環多分有向圖上 MinHOMP 複雜度的一個關鍵開放問題。

ABSTRACT

For digraphs $D$ and $H$, a mapping $f: V(D)\dom V(H)$ is a homomorphism of $D$ to $H$ if $uv\in A(D)$ implies $f(u)f(v)\in A(H).$ For a fixed digraph $H$, the homomorphism problem is to decide whether an input digraph $D$ admits a homomorphism to $H$ or not, and is denoted as HOMP($H$). Digraphs are allowed to have loops, but not allowed to have parallel arcs. A natural optimization version of the homomorphism problem is defined as follows. If each vertex $u \in V(D)$ is associated with costs $c_i(u), i \in V(H)$, then the cost of the homomorphism $f$ is $\sum_{u\in V(D)}c_{f(u)}(u)$. For each fixed digraph $H$, we have the {\em minimum cost homomorphism problem for} $H$ and denote it as MinHOMP($H$). The problem is to decide, for an input graph $D$ with costs $c_i(u),$ $u \in V(D), i\in V(H)$, whether there exists a homomorphism of $D$ to $H$ and, if one exists, to find one of minimum cost. In a recent paper, we posed a problem of characterizing polynomial time solvable and NP-hard cases of the minimum cost homomorphism problem for acyclic multipartite tournaments with possible loops (w.p.l.). In this paper, we solve the problem for reflexive multipartite tournaments and demonstrate a considerate difficulty of the problem for the whole class of multipartite tournaments w.p.l. using, as an example, acyclic 3-partite tournaments of order 4 w.p.l.\footnote{This paper was submitted to Discrete Mathematics on April 6, 2007}

研究动机与目标

• 針對可能帶有環的有環多分有向圖（w.p.l.），特徵化最小代價同態問題（MinHOMP）的多項式時間可解與 NP-困難情形。
• 解決先前研究中針對可能帶有環的無環多分有向圖上 MinHOMP 複雜度提出的開放問題。
• 利用結構分析與二分圖表示技術，建立二分分類。
• 透過分析如四階無環三部有向圖 w.p.l. 等困難情形，展示更廣泛的多分有向圖 w.p.l. 上 MinHOMP 的本質複雜性。

提出的方法

• 利用有向圖的二分圖表示分析 MinHOMP 複雜度，並應用已知的無向圖結果。
• 應用定理 3.6 關於合適區間二分圖，透過檢測誘導子圖（如二分圖網、帳篷、長度為六的圈）來識別 NP-困難性。
• 基於部分集大小與不同部分集間頂點之間支配關係的結構性案例分析。
• 透過誘導子有向圖的還原技術：若子有向圖的二分圖表示非合適區間二分圖，則 MinHOMP(H) 為 NP-困難。
• 利用先前針對有環有向圖與特定四頂點有向圖的二分分類結果，來歸類多項式可解情形。
• 運用引理 3.1、3.4、4.4、4.5、4.6、4.7 與 3.7，根據結構條件系統性地證明 NP-困難性或多項式可解性。

实验结果

研究问题

• RQ1 對於哪些有環多分有向圖，最小代價同態問題為多項式時間可解？
• RQ2 有環多分有向圖的哪些結構特性會導致 MinHOMP 為 NP-困難？
• RQ3 能否利用二分圖表示完全分類有環多分有向圖上 MinHOMP 的複雜度？
• RQ4 為何一般情況下無環多分有向圖 w.p.l. 的複雜度顯著高於有環情形？
• RQ5 四頂點無環多分有向圖（帶有環）在何種精確條件下會使 MinHOMP 為多項式時間可解？

主要发现

• 若 H 為有環的無環有向圖，則 MinHOMP(H) 為多項式時間可解。
• 若 H 包含誘導圈或二分圖網/帳篷，則 MinHOMP(H) 為 NP-困難，此點由非合適區間二分圖表示所確認。
• 當 H 有兩個或以上部分集大小大於一時，MinHOMP(H) 為 NP-困難。
• 若任一部分集包含三個或以上頂點，則 MinHOMP(H) 為 NP-困難，此點由引理 4.4 與 4.5 所示。
• 對於四頂點無環多分有向圖 H，其中 A(H) = {12,23,34,14,24} ∪ B，且 B ⊆ {11,22,33}，若 {33} ⊆ B ⊆ {11,22,33}，則 MinHOMP(H) 為多項式時間可解；否則為 NP-困難。
• H' 之情形（頂點集 {1,2,3,4}，弧集 {12,23,24} ∪ B，B ⊆ {11,22,33,44}）仍未能解決，特別是當 B = {33,44} 時，顯示其複雜性超出目前分類範圍。