[论文解读] On the computability of graphons

Nathanael Ackerman, Jeremy Avigad+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2018

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文研究了图翁（graphons）——稠密图的极限对象——的可计算性，通过分析其在 $L^1$ 和切距离度量下的表示。结果表明，$L^1$ 表示包含严格多于切距离表示的可计算信息，且在转换过程中需要 $0^{\backprime}$ 作为预言机；同时构造了一个可计算的 $L^1$ 图翁，其不与任何几乎处处连续的图翁弱同构，揭示了连续可计算表示的根本性拓扑障碍。

ABSTRACT

We investigate the relative computability of exchangeable binary relational data when presented in terms of the distribution of an invariant measure on graphs, or as a graphon in either $L^1$ or the cut distance. We establish basic computable equivalences, and show that $L^1$ representations contain fundamentally more computable information than the other representations, but that $0'$ suffices to move between computable such representations. We show that $0'$ is necessary in general, but that in the case of random-free graphons, no oracle is necessary. We also provide an example of an $L^1$-computable random-free graphon that is not weakly isomorphic to any graphon with an a.e. continuous version.

研究动机与目标

• 理解图翁在通过图上的不变测度或作为 $L^1$ 或切距离度量下的图翁表示时的相对可计算性。
• 确定可计算的交换随机图数组表示是否能通过图翁结构揭示条件独立性。
• 研究生成可计算交换数组的图翁是否必须几乎处处连续，以及此类表示是否可计算。
• 确立将图翁的 $d_{\square}$ 与 $d_1$ 表示相互转换所需停机问题 $0^\prime$ 的必要性。
• 构造一个 $L^1$-可计算、无随机性的图翁，其不与任何具有几乎处处连续版本的图翁弱同构，揭示连续可计算表示的拓扑障碍。

提出的方法

• 作者在伪度量空间中形式化了可计算性，定义了图翁在 $L^1$ 和切距离（$d_{\square}$）度量下的可计算名称。
• 他们建立了表示之间的可计算等价性，表明使用 $0^\prime$ 作为预言机，可以从 $d_{\square}$-名称计算出 $d_1$-名称。
• 他们证明了在一般情况下，此类转换需要 $0^\prime$，并利用构造一个具有特定测度性质的无随机图翁来证明这一点。
• 他们使用保测度映射 $\psi$ 来关联弱同构的图翁，并通过测度零集的原像分析连续性。
• 他们应用 $\lambda$-连续性集与支撑测度的概念，表明弱同构图翁的几乎处处连续性会在构造的例子中导致矛盾。
• 他们将 $d_1$-可计算的无随机图翁与下界构造相结合，得到一个其 $d_1$-名称可计算 $0^\prime$ 的图翁，从而证明预言机的必要性。

实验结果

研究问题

• RQ1 图翁的 $d_{\square}$-名称是否可在无额外预言机访问的情况下，可计算地约化为 $d_1$-名称，反之亦然？
• RQ2 可计算的交换随机图数组是否总能由一个几乎处处连续的图翁表示？
• RQ3 将图翁的 $d_{\square}$ 与 $d_1$ 表示相互转换是否需要停机问题 $0^\prime$？
• RQ4 一个 $L^1$-可计算、无随机性的图翁是否可能与任何具有几乎处处连续版本的图翁弱同构？
• RQ5 图翁存在可计算的 $d_1$-名称是否意味着存在一种可计算表示，能揭示底层交换数组中的条件独立性？

主要发现

• $L^1$ 表示的图翁包含严格多于切距离表示的可计算信息，因为 $d_1$-名称无法在无 $0^\prime$ 的情况下从 $d_{\square}$-名称计算得出。
• 在一般情况下，将图翁的 $d_{\square}$ 与 $d_1$ 表示相互转换需要停机问题 $0^\prime$。
• 对于无随机图翁，无需预言机：$d_1$-名称可直接从交换数组的分布计算得出。
• 构造了一个 $L^1$-可计算、无随机性的图翁，其不与任何具有几乎处处连续版本的图翁弱同构，揭示了连续表示的拓扑障碍。
• 任何与该例子弱同构的图翁的 $d_1$-名称均可计算 $0^\prime$，表明该预言机不仅充分且必要于此类转换。
• 本文确立了：即使交换数组的分布是可计算的，其图翁也不存在可计算的几乎处处连续表示，揭示了其与一维 de Finetti 情况的根本差异。