[论文解读] Graph limits and exchangeable random graphs

Persi Diaconis, Svante Janson|ArXiv.org|Dec 17, 2007

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 17被引用 279

一句话总结

本文建立了德·菲内蒂关于交换性随机数组的定理与图极限理论之间的严格联系，表明交换性随机图可作为基于图子模型的混合模型出现。核心贡献是一项表示定理，证明了每一个交换性随机无限有向图均通过一个随机图子与图极限相对应，从而统一了经典概率论与现代图极限理论。

ABSTRACT

We develop a clear connection between deFinetti's theorem for exchangeable arrays (work of Aldous--Hoover--Kallenberg) and the emerging area of graph limits (work of Lovasz and many coauthors). Along the way, we translate the graph theory into more classical probability.

研究动机与目标

• 将德·菲内蒂关于交换性数组的理论与图极限的新兴理论统一起来。
• 利用交换性与表示定理，阐明图极限理论的概率基础。
• 将阿尔杜斯–胡佛表示定理推广至有向图与图极限。
• 证明图极限恰好对应于具有随机图子的交换性随机图的分布。
• 通过交换性随机数组与保测度变换，为图极限提供概率解释。

提出的方法

• 使用联合交换性数组的阿尔杜斯–胡佛表示定理，将边指示变量分解为独立同分布的均匀随机变量的函数。
• 定义图子五元组 $\mathbf{W} \in \mathcal{W}_5$，编码具有随机标签的顶点之间的边概率，包括环的指示变量。
• 利用独立的均匀变量和可测函数，构造随机无限有向图 $G(\infty, \mathbf{W})$ 和 $G(\infty, \mathbf{W}, p)$。
• 应用德·菲内蒂定理中的极值点刻画，证明图极限作为此类交换性图的分布出现。
• 利用保测度映射重参数化环的概率，将表示简化为四元组 $\mathbf{W}$ 和边际概率 $p$。
• 证明有限图收敛至极限几乎是必然的，且极限由图子 $\mathbf{W}$ 刻画。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将德·菲内蒂关于交换性数组的定理扩展至建模随机图及其极限？
• RQ2 在交换性随机图的背景下，图极限背后的精确概率结构是什么？
• RQ3 在有向图的设定下，阿尔杜斯–胡佛表示与德·菲内蒂表示如何统一？
• RQ4 在何种条件下，图极限对应于交换性随机图的分布？
• RQ5 交换性数组的表示能否以一致的方式适应有向边与环？

主要发现

• 每一个交换性随机无限有向图均可作为随机图子 $\mathbf{W}$ 生成的图的混合形式出现，与图极限之间建立一一对应关系。
• 图极限 $\Gamma_{\mathbf{W}}$ 由同态密度 $t(F, \Gamma_{\mathbf{W}}) = \mathbb{P}(F \subseteq G(k, \mathbf{W}))$ 刻画，其中 $F$ 为任意有限有向图。
• 当 $n \to \infty$ 时，有限图 $G(n, \mathbf{W})$ 几乎必然收敛至 $\Gamma_{\mathbf{W}}$，证实了极限的稳定性。
• 环指示变量 $X_{ii}$ 构成一个交换性序列，其分布为独立同分布的伯努利($p$)变量的混合，从而恢复了德·菲内蒂定理。
• 通过 $f_1(\xi_i)$ 和 $f_2(\xi_i, \xi_j, \xi_{ij})$ 表示交换性数组，可在 $[0,1]^4$ 上利用可测函数构造图极限。
• 在 $\mathcal{D}_\infty$ 中的图极限恰好是 $\mathbf{W} \in \mathcal{W}_5$ 的分布 $\Gamma_{\mathbf{W}}$，或等价地，是 $\mathbf{W} \in \mathcal{W}_4$ 与 $p \in [0,1]$ 的 $\Gamma_{\mathbf{W},p}$。