[论文解读] On the Computation of Optimal Control Problems with Terminal Inequality Constraint via Variation Evolution

Sheng Zhang, Yan-Qing Chenq+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2018

Spacecraft Dynamics and Control参考文献 16被引用 5

一句话总结

本文提出了一种变分演化方法（VEM），通过从演化偏微分方程（EPDE）推导出无协态最优性条件，用于求解带有终端不等式约束的最优控制问题。该方法引入了一种数值软屏障机制，以减轻不等式约束突然激活所引起的误差，在使用标准常微分方程（ODE）积分方法求解变换后的初值问题时表现出有效性。

ABSTRACT

Studies regarding the computation of Optimal Control Problems (OCPs) with terminal inequality constraint, under the frame of the Variation Evolving Method (VEM), are carried out. The attributes of equality constraints and inequality constraints in the generalized optimization problem is traversed, and the intrinsic relations to the multipliers are uncovered. Upon these preliminaries, the right Evolution Partial Differential Equation (EPDE) is derived, and the costate-free optimality conditions are established. Besides the analytic expression for the costates in the classic treatment, they also reveal the analytic relations between the states, the controls and the (Lagrange and KKT) multipliers, which adjoin the terminal (equality and inequality) constraints. Moreover, in solving the transformed Initial-value Problems (IVPs) with common Ordinary Differential Equation (ODE) integration methods, the numerical soft barrier is proposed to eliminate the numerical error resulting from the suddenly triggered inequality constraint and it is shown to be effective.

研究动机与目标

• 解决涉及终端不等式约束的最优控制问题（OCPs）所面临的计算挑战。
• 通过推导适当的演化偏微分方程（EPDE），建立无协态最优性条件。
• 揭示与终端约束相关的状态、控制量以及拉格朗日/KKT乘子之间的内在关系。
• 开发一种数值软屏障，以减少在常微分方程积分过程中不等式约束突然激活所导致的误差。
• 通过标准ODE求解器高效求解变换后的初值问题。

提出的方法

• 基于广义优化问题的等式与不等式约束，推导演化偏微分方程（EPDE）。
• 通过分析状态、控制量与乘子（拉格朗日与KKT乘子）之间的内在关系，建立无协态最优性条件。
• 将原始最优控制问题转化为适合标准常微分方程积分方法的初值问题（IVP）。
• 引入一种数值软屏障机制，以抑制在常微分方程积分过程中由于不等式约束突然激活而引起的数值误差。
• 利用变分演化方法（VEM）框架，系统性地处理终端条件中的等式与不等式约束。
• 应用标准常微分方程积分格式，以提升数值鲁棒性，求解变换后的初值问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将带有终端不等式约束的最优控制问题重新表述，以避免显式计算协态？
• RQ2 在存在终端不等式约束的情况下，状态、控制量与乘子之间的解析关系是什么？
• RQ3 在常微分方程积分过程中，如何缓解由于不等式约束突然激活而引发的数值不稳定性？
• RQ4 控制此类约束最优控制问题中变分演化过程的演化偏微分方程（EPDE）的结构是什么？
• RQ5 所提出的方法是否能在不追踪协态的情况下，仅使用标准常微分方程求解器实现可靠且精确的求解？

主要发现

• 本文成功通过建立终端约束下状态、控制量与乘子之间的解析关系，推导出无协态最优性条件。
• 演化偏微分方程（EPDE）被推导为约束最优控制问题中变分演化过程的控制方程。
• 数值软屏障有效减少了在常微分方程积分过程中由于不等式约束突然激活所引起的误差。
• 通过标准常微分方程积分方法，准确求解了变换后的初值问题，证实了该方法的数值鲁棒性。
• 该方法在无需显式计算协态的情况下，有效处理了终端等式与不等式约束。
• 该方法与先前工作（如arXiv:1801.01383, arXiv:1712.09702）存在显著重叠，表明其具有系统一致性与可扩展性。