[论文解读] On the continuity of lyapunov exponents of random walks in random potentials

Thị Thu Hiền Lê|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2013

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 11被引用 4

一句话总结

本文在 $ d \geq 3 $ 时，针对 $ \mathbb{Z}^d $ 上独立同分布的非负随机势场中的简单随机游走，建立了淬火与 annealed Lyapunov 指数关于势场分布弱收敛的连续性。通过概率耦合与路径测度条件化方法，证明了当势场分布弱收敛时，Lyapunov 指数也收敛，将第一通过渗流中已知的连续性结果推广至随机环境中的随机游走情境。

ABSTRACT

We consider a simple random walk in an i.i.d. non-negative potential on the d-dimensional integer lattice, $d\geq 3$. We study the quenched Lyapunov exponents, and present a probabilistic proof of its continuity when the potentials converge in distribution.

研究动机与目标

• 建立淬火与 annealed Lyapunov 指数关于随机势场分布的连续性。
• 将第一通过渗流中已知的连续性结果推广至随机势场中随机游走的情境。
• 通过分析在淬火与 annealed 路径测度下行走的弹道行为，控制 Lyapunov 指数的极限。
• 提供一种基于耦合与矩估计的纯概率证明，避免使用分析或谱方法。

提出的方法

• 使用淬火与 annealed 路径测度 $ \hat{P}_{x,\omega}^y $ 与 $ \hat{\mathbb{P}}_x^y $，通过对数矩生成函数定义 Lyapunov 指数。
• 应用 Jensen 不等式与矩界，控制对数期望 $ a(x,y,\omega) $ 与 $ b(x,y) $。
• 引入截断势场 $ ^tF $ 与 $ ^t\hat{F} $，以逼近原始势场分布并控制收敛性。
• 采用耦合论证比较 $ \beta_{F_n} $ 与 $ \beta_{^tF_n} $，利用 $ \mathbb{E}[\exp(-U_t(0))] \to 1 $ 当 $ t \to \infty $ 的事实。
• 利用形状定理与矩估计，将 $ \mathbb{\hat{E}}_{0,^tF}^{nx}(H(nx)) $ 以 $ b(0,nx,^tF) $ 表示。
• 利用势场在随机序下 $ \beta_F $ 与 $ \alpha_F $ 的单调性，通过夹逼法控制极限并证明收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 淬火 Lyapunov 指数 $ \alpha_F(x) $ 是否关于独立同分布势场分布 $ F $ 连续？
• RQ2 annealed Lyapunov 指数 $ \beta_F(x) $ 是否关于势场分布的弱收敛连续？
• RQ3 是否可基于路径测度耦合与矩估计而非谱方法，建立 Lyapunov 指数的连续性？
• RQ4 截断与耦合在控制 $ F_n \to F $ 弱收敛时 $ \beta_{F_n} $ 收敛性中起何作用？

主要发现

• 淬火 Lyapunov 指数 $ \alpha_F(x) $ 关于势场分布的弱收敛 $ F_n \to F $ 在 $ \mathscr{D}_1 $ 中连续。
• 对于 $ d \geq 3 $，annealed Lyapunov 指数 $ \beta_F(x) $ 关于 $ F_n \to F $ 的弱收敛连续；当 $ d=2 $ 时，在 $ F(\lambda) = 0 $ 对某个 $ \lambda > 0 $ 成立的附加假设下也连续。
• 对任意 $ x \in \mathbb{Z}^d $，当 $ F_n \to F $ 弱收敛且 $ F_n $ 一致下界于某具有有限均值的分布时，有 $ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} b(0,nx, F_n) = \beta_F(x) $。
• 证明依赖于构造一列截断势场 $ ^tF_n $，使得当 $ t \to \infty $ 时 $ \beta_{^tF_n} \to \beta_F $，并利用 $ \mathbb{E}[\exp(-U_t(0))] \to 1 $ 的事实。
• 关键不等式 $ \mathbb{\hat{E}}_{0,^tF}^{nx}(H(nx)) \leq \frac{D}{-\ln \mathbb{E}[\exp(-W_t(0))]} b(0,nx,^tF) $ 控制了在条件测度下首次 hitting 时间的期望。
• 通过取 $ t \to \infty $ 并利用单调性与夹逼法，最终得到 $ \liminf_{n \to \infty} \beta_{F_n} \geq \beta_F $。