[论文解读] On the convergence of monotone schemes for path-dependent PDE

Zhenjie Ren, Xin Tan|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 17被引用 4

一句话总结

本文为应用于路径相关偏微分方程（PPDEs）的单调数值格式建立了收敛性定理，扩展了经典的Barles-Souganidis框架。通过在离散时间最优停止问题的框架下重新表述稳定性与相容性条件，证明了所有标准单调格式——如有限差分法、蒙特卡洛法及树状方法——均收敛于PPDE的粘性解，从而实现了非马尔可夫随机控制与二阶倒向SDE的数值求解。

ABSTRACT

We propose a reformulation of the convergence theorem of monotone numerical schemes introduced by Zhang and Zhuo for viscosity solutions of path-dependent PDEs, which extends the seminal work of Barles and Souganidis on the viscosity solution of PDE. We prove the convergence theorem under conditions similar to those of the classical theorem in the work of Barles and Souganidis. These conditions are satisfied, to the best of our knowledge, by all classical monotone numerical schemes in the context of stochastic control theory. In particular, the paper provides a unified approach to prove the convergence of numerical schemes for non-Markovian stochastic control problems, second order BSDEs, stochastic differential games etc.

研究动机与目标

• 将经典的Barles-Souganidis PDE收敛性定理扩展至路径相关PDE（PPDEs）的框架下，其中状态空间不具备局部紧致性。
• 通过引入一种新颖的离散时间最优停止问题方法，克服PPDE中非局部紧致性的问题，该方法与以往方法不同。
• 证明所有经典单调数值格式——如有限差分法、半拉格朗日法及三叉树格式——均满足所提出的收敛性条件。
• 为构建非马尔可夫随机控制问题、随机微分博弈及二阶倒向SDE的数值格式提供一个通用框架。
• 通过证明新条件被所有已知的经典单调格式在最优控制语境下满足，统一并推广了现有的收敛性结果。

提出的方法

• 通过受控过程的离散时间最优停止问题重新表述PPDE中单调格式的收敛性定理，替代Zhang和Zhuo（2015）中使用的连续时间最优停止方法。
• 提出一种基于离散时间过程差值期望的新稳定性论证，利用解与测试函数的模连续性的有界性与连续性。
• 通过反证法证明收敛性：假设数值解不收敛，然后利用对格式终端值期望值的估计导出矛盾。
• 结合PPDE的粘性解稳定性性质与离散测度对维纳测度的收敛性，控制格式一致性中的误差项。
• 通过停止时间τ*实施局部化技术，以处理非紧致状态空间，确保在紧子集上格式误差的统一有界性。
• 验证在所提框架下，经典格式（如有限差分法、蒙特卡洛法、树格式）满足新的相容性、单调性与稳定性条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典的Barles-Souganidis PDE收敛性定理能否扩展至状态空间不具局部紧致性的路径相关PDE？
• RQ2 在缺乏局部紧致性的情况下，单调数值格式需满足何种条件，才能保证收敛于PPDE的粘性解？
• RQ3 在路径相关设定下，标准单调格式——如有限差分法、蒙特卡洛法及树状格式——是否满足新的收敛性条件？
• RQ4 所提框架能否生成用于非马尔可夫二阶倒向SDE及随机微分博弈的新数值格式？
• RQ5 在收敛性证明中，如何在不依赖连续时间最优停止的前提下，克服路径空间的非局部紧致性问题？

主要发现

• 所提出的收敛性定理将经典Barles-Souganidis结果推广至PPDEs，证明在类似经典情形的条件下，单调格式实现局部一致收敛。
• 所有在随机控制中经典的单调格式——如有限差分法、半拉格朗日法、三叉树法及蒙特卡洛法——均满足新收敛条件，使其可扩展至非马尔可夫问题。
• 该方法引入了一种离散时间最优停止论证，克服了路径空间的非局部紧致性，区别于Zhang和Zhuo（2015）的连续时间方法。
• 收敛性证明依赖于对格式终端值期望值的有界性估计的反证法，误差项通过模连续性与测度收敛性加以控制。
• 该框架首次实现了对具有z-依赖生成器的二阶倒向SDE及非马尔可夫设定下随机微分博弈的数值格式。
• 证明中的误差估计表明，当离散化参数h → 0时，数值解与粘性解之间的差异可任意缩小，且通过εδ/4型界实现显式控制。