[论文解读] On the cost-subdifferentials of cost-convex functions

Young‐Heon Kim, Robert J. McCann|ArXiv.org|Jun 8, 2007

Point processes and geometric inequalities参考文献 16被引用 5

一句话总结

本文在成本函数满足 A0、A1、A2 和 A3W 条件下，通过直接的几何论证而非逼近方法，建立了代价-凸函数下代价次微分与经典次微分之间的等价性。关键结果表明，在这些条件下，c-次微分 ∂cφ 等于 c-凸势函数的古典次微分 ∂φ，这表明最优传输中接触集的连通性，并完整构建了 Loepers 在球面上的 Hölder 正则性理论。

ABSTRACT

We are interested in the cost-convex potentials in optimal mass transport theory, and we show by direct and geometric arguments the equivalence between cost-subdifferentials and ordinary subdifferentials of cost-convex functions, under the assumptions A0, A1, A2, and A3W on cost functions introduced by Ma, Trudinger, and Wang. The connectivity of contact sets of optimal transport maps follows as a direct corollary. Our approach is quite different from the previous result of Loeper which he obtained as the first step toward his Hoelder regularity theory of potential functions, and which was based upon approximation using the regularity theory of Ma, Trudinger, and Wang. The result in this paper improves his result, by relaxing certain geometrical assumptions on the domains and targets; it also completes his Hoelder regularity theory of potential functions on the round sphere, by making it self-contained.

研究动机与目标

• 建立 c-凸函数下代价次微分与经典次微分之间等价性的直接几何证明。
• 与先前工作相比，特别是 Loepers 基于逼近的方法，放松对定义域和目标域的几何假设。
• 通过此几何方法，完整且自洽地完成最优传输势函数在单位球面上 Loepers 的 Hölder 正则性理论。
• 将等价性 ∂cφ = ∂φ 从欧几里得空间推广至满足 Ma-Trudinger-Wang 条件的黎曼流形及其他代价函数。

提出的方法

• 通过直接分析 c-凸函数及其支撑函数 M_y(x) = -c(x,y) + const 进行几何分析。
• 应用 c-指数映射及其定义域的概念，分析接触集的结构。
• 采用严格 DASM（对偶几乎最小选择）的概念，建立切空间中水平集的单调性与凸性。
• 利用 A3W 条件及其更强形式 A3S，确保 c-指数映射所需的凸性与正则性。
• 在奇异情形（例如 c 在 x=y 处不可微）下使用逼近方法，将结果推广至非光滑代价函数。
• 利用距离函数的连续性，将结果从稠密子集扩展至整个定义域，如在球面上的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 在代价函数 c 的何种条件下，c-凸函数 φ 的 c-次微分 ∂cφ 等于其经典次微分 ∂φ？
• RQ2 能否仅通过几何论证而非依赖逼近或正则性理论，证明等价性 ∂cφ = ∂φ？
• RQ3 在满足 A3W 条件的非欧几里得定义域（如单位球面）上，该等价性是否成立？
• RQ4 最优传输映射中接触集的连通性是否可直接由等价性 ∂cφ = ∂φ 推出？
• RQ5 能否通过此几何方法完整且自洽地完成 Loepers 的 Hölder 正则性理论？

主要发现

• 在代价函数 c 满足 A0、A1、A2 和 A3W 条件时，所有 c-凸函数 φ 在定义域 Ω ⊂ R^n（或流形）上均有 ∂cφ = ∂φ。
• 该结果通过直接几何论证获得，避免了 Loepers 原证明中使用的逼近技术，从而放松了对定义域与目标域几何结构的限制。
• 最优传输映射中接触集的连通性可直接由等价性 ∂cφ = ∂φ 推出。
• 在单位球面 S^n 上，当 c(x,y) = ½d²(x,y) 时，即使在对径点处，等价性 ∂cφ = ∂φ 也全局成立，由连续性与 DASM 分析保证。
• 对于代价函数 c(x,y) = -½log|x−y|² 在 R^n×R^n∖{x=y} 上，等价性 ∂cφ = ∂φ 全局成立，c-指数映射的定义域为 R^n∖{0}，并通过逼近方法将结果推广。
• 反射器天线代价函数 c(x,y) = -½log|x−y|² 在 S^{n−1}×S^{n−1}∖{x=y} 上满足 A3S 条件，且对 c-凸函数 φ 有 ∂cφ = ∂φ，其中 c*-Exp_y 将 T_yS^{n−1} 映射至 S^{n−1}∖{y}。