[论文解读] On the counting tensor model observables as $U(N)$ and $O(N)$ classical invariants

Joseph Ben Geloun|arXiv (Cornell University)|May 4, 2020

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 75被引用 8

一句话总结

本文提出了一套对称群理论框架，用于枚举张量模型中的$U(N)$和$O(N)$张量不变量，通过分支覆盖2-球面和环面分别建立其与拓扑场论的联系。结果表明，复张量不变量代数是半单的，并允许进行Wedderburn-Artin分解，而实张量情形的完整分解仍为开放问题，揭示了张量模型可观测量背后深刻的代数与拓扑结构。

ABSTRACT

Real or complex tensor model observables, the backbone of the tensor theory space, are classical (unitary, orthogonal, symplectic) Lie group invariants. These observables represent as colored graphs, and that representation gives an handle to study their combinatorial, topological and algebraic properties. We give here an overview of the symmetric group-theoretic formulation of the enumeration of unitary and orthogonal invariant observables which turns out to bear a rich structure. From their counting formulae, one finds a correspondence with topological field theory on 2-cellular complexes that brings other interpretations of the same countings. Furthermore, tensor model observables span an algebra that turns out to be semi-simple. Dealing with complex tensors, we discuss the representation theoretic base of the algebra making explicit its Wedderburn-Artin decomposition. The real case is more subtle as a base of its Wedderburn-Artin decomposition is yet unknown.

研究动机与目标

• 通过对称群表示理论系统地枚举张量模型中的$U(N)$和$O(N)$不变可观测量。
• 建立张量不变量与2-胞复形上的拓扑场论之间的对应关系，例如带缺陷的2-球面和环面的分支覆盖。
• 分析张量模型可观测量的代数结构，特别是其半单性及正交基的存在性。
• 阐明复张量可观测量代数的表示理论基础，包括其Wedderburn-Artin分解。
• 识别实张量情形中的开放问题，尤其是尚未知的Wedderburn-Artin基的存在性。

提出的方法

• 利用Schur-Weyl对偶性和对称群作用，将$U(N)$和$O(N)$不变量表征为作用于张量指标上的置换的等价类。
• 将张量不变量表示为着色图，实现组合枚举，并通过分支覆盖实现拓扑解释。
• 应用群作用形式化方法，通过共轭和对角作用下的等价关系，对对称群联合作用下的不变量进行分类。
• 使用张量积空间$\mathbb{C}(S_{2n}^{\times q}) \otimes \mathbb{C}(S_{2n}^{\times p}) \otimes \mathbb{C}(S_{2n}^{\times q})$来建模混合$U(N)^{\times p} \times O(N)^{\times q}$对称性。
• 在张量积空间上引入四种不同的群作用——左乘/右乘和对角作用——以对混合对称性下的不变量进行分类。
• 分析可观测量代数的代数结构，证明其半单性，并为复张量识别正交基。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用对称群表示理论系统地枚举$U(N)$和$O(N)$张量不变量？
• RQ2 对$U(N)$和$O(N)$不变量的计数会产生何种拓扑场论解释？
• RQ3 复张量模型中可观测量代数的代数结构是什么？它是否允许Wedderburn-Artin分解？
• RQ4 为何实张量不变量代数的Wedderburn-Artin分解仍未知？其构造面临哪些挑战？
• RQ5 该形式化方法如何推广至同时具有$U(N)$和$O(N)$对称性的混合张量模型？

主要发现

• 对于度数$d=3$，$U(N)$不变量的数量为11，$O(N)$为16，且随着$d$的增加，序列迅速增长。
• 复张量不变量对应于2-球面的分支覆盖，提供了拓扑场论的解释。
• 实张量不变量对应于带缺陷的环面覆盖，扩展了拓扑场论的对应关系。
• 复张量不变量代数是半单的，并允许正交基，其完整的Wedderburn-Artin分解已显式构造。
• 实张量不变量代数同样是半单的，并允许正交基，但完整的Wedderburn-Artin分解仍未知。
• 该形式化方法可推广至混合$U(N)^{\times p} \times O(N)^{\times q}$模型，不变量通过对称群代数张量积上的四种非群作用进行分类。