[论文解读] On the cuspidal support of discrete series for $p$-adic quasisplit $Sp(N)$ and $SO(N)$

Bin Xu|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2015

Advanced Algebra and Geometry参考文献 25被引用 15

一句话总结

本文利用阿瑟的内播分类法，重新证明了拟分裂 $p$-进辛群与正交群的离散系列表示的分类，建立了迈格林-塔迪奇的 cuspidal 支持理论与阿瑟的 $L$-包结构之间的直接联系。结果表明，离散系列与某些超临界表示的片段一一对应，且 $L$-包结构由内播数据决定。

ABSTRACT

Zelevinsky's classification theory of discrete series of $p$-adic general linear groups has been well known. Mœglin and Tadic gave the same kind of theory for $p$-adic classical groups, which is more complicated due to the occurrence of nontrivial structure of L-packets. Nonetheless, their work is independent of the endoscopic classification theory of Arthur (also Mok in the unitary case), which concerns the structure of L-packets in these cases. So our goal in this paper is to make more explicit the connection between these two very different types of theories. To do so, we reprove the results of Mœglin and Tadic in the case of quasisplit symplectic groups and orthogonal groups by using Arthur's theory.

研究动机与目标

• 阐明 $p$-进经典群的离散系列表示中，迈格林-塔迪奇的 cuspidal 支持分类与阿瑟的内播分类法在 $L$-包结构上的联系。
• 利用阿瑟框架而非特殊方法，重新推导拟分裂 $Sp(N)$ 与 $SO(N)$ 的离散系列分类。
• 证明离散系列表示的 cuspidal 支持由其内播数据与诱导超临界表示的片段结构所唯一确定。
• 提供一种统一视角，使 $L$-包结构与 cuspidal 支持通过内播转移相容。

提出的方法

• 利用阿瑟的内播分类法，重新推导 $p$-进 $Sp(N)$ 与 $SO(N)$ 离散系列的 cuspidal 支持。
• 从 Levi 子群的超临界表示出发，应用正规化诱导构造表示。
• 利用涉及 $\delta$-函数、$D$-函数与交织算子的特征恒等式，比较表示。
• 通过 $G(F)$ 对对 $(M, \pi_{\text{cusp}})$ 的共轭作用分析，定义 cuspidal 支持的等价类。
• 应用伯恩斯坦-泽列维斯基定理，确保所有不可约表示均可由诱导得到。
• 应用一个关键引理，证明小的 $|z|$ 上特征和的消失性，从而证明特征展开中系数的相等性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在阿瑟分类下，$Sp(N)$ 或 $SO(N)$ 中离散系列表示的 cuspidal 支持如何与其实内播数据相关联？
• RQ2 能否在阿瑟的内播框架下，恢复迈格林-塔迪奇对离散系列的分类？
• RQ3 在经典群中，$L$-包在离散系列的 cuspidal 支持结构中起何种精确作用？
• RQ4 在内播设定下，正规化诱导与特征恒等式如何相互作用？
• RQ5 在何种条件下，具有相同 cuspidal 支持的两个表示是同构的，或通过内播转移相关联？

主要发现

• 对于 $Sp(N)$ 或 $SO(N)$，离散系列表示的 cuspidal 支持由其内播数据与诱导超临界表示的片段结构唯一确定。
• 所有离散系列表示均可表示为某个诱导表示 $\langle \rho; x, \dots, y \rangle$ 的唯一不可约子表示，其中 $\rho$ 为单位超临界表示。
• 离散系列的 $L$-包结构由内播数据编码，本文中的特征恒等式证实了其与阿瑟理论的一致性。
• 通过 $p$-进特征和的消失引理，建立了系数等式 $\sum a_{M,i} = \sum b_{w,j}$，从而证明了迹公式中的恒等式。
• 对 $GL(n)$ 的 $St(\rho, a)$ 分类方法，通过内播转移与 cuspidal 支持，可推广至 $Sp(N)$ 与 $SO(N)$。
• 本文证实，离散系列的 cuspidal 支持在内播转移下保持不变，从而统一了迈格林-塔迪奇与阿瑟的理论。