[论文解读] On the definition of entanglement entropy in lattice gauge theories

Sinya Aoki, Takumi Iritani+4 more|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2015

Quantum many-body systems参考文献 39被引用 10

一句话总结

该论文通过将物理的规范不变希尔伯特空间扩展到更大的、规范非不变的键变量希尔伯特空间，提出了一种格点规范场论中纠缠熵的新定义，从而在任意区域及其补集之间恢复张量积分解，使标准纠缠熵计算（通过约化密度矩阵）成为可能。该方法导出了复制公式，并严格计算了$Z_N$规范理论中拓扑态的纠缠熵，结果表明其等于$\log|G|$（当非阿贝尔群有限时），并验证了强亚加性等标准性质。

ABSTRACT

We focus on the issue of proper definition of entanglement entropy in lattice gauge theories, and examine a naive definition where gauge invariant states are viewed as elements of an extended Hilbert space which contains gauge non-invariant states as well. Working in the extended Hilbert space, we can define entanglement entropy associated with an arbitrary subset of links, not only for abelian but also for non-abelian theories. We then derive the associated replica formula. We also discuss the issue of gauge invariance of the entanglement entropy. In the $Z_N$ gauge theories in arbitrary space dimensions, we show that all the standard properties of the entanglement entropy, e.g. the strong subadditivity, hold in our definition. We study the entanglement entropy for special states, including the topological states for the $Z_N$ gauge theories in arbitrary dimensions. We discuss relations of our definition to other proposals.

研究动机与目标

• 解决由于规范不变希尔伯特空间不可分解而导致的格点规范场论中纠缠熵定义的基础性问题。
• 为阿贝尔与非阿贝尔规范场论（包括任意键的子集）提供一种一致且通用的纠缠熵定义。
• 证明在所提定义下，标准纠缠熵性质（如强亚加性）成立。
• 在任意维度下精确计算$Z_N$规范理论中拓扑态的纠缠熵，获得精确解析结果。
• 阐明规范固定在纠缠熵计算中的作用，表明边界上的规范固定可能导致非物理结果，应避免使用。

提出的方法

• 将物理的规范不变希尔伯特空间扩展到完整的（规范非不变）键变量希尔伯特空间，以在任意区域$V$及其补集$\bar{V}$之间恢复张量积分解。
• 在扩展的希尔伯特空间中，通过对$\bar{V}$中的键变量取迹，定义区域$V$的约化密度矩阵。
• 将得到的约化密度矩阵的冯诺依曼熵作为纠缠熵进行计算。
• 在扩展希尔伯特空间框架下，推导出用于高效计算纠缠熵的复制公式。
• 利用规范变换的本征态，在$Z_N$规范理论中表达希尔伯特空间，从而实现对特殊态的纠缠熵的显式计算。
• 将该形式化方法应用于$Z_N$和非阿贝尔$G$规范理论中的拓扑态，利用群表示理论计算$p(\pi) = |\psi(\pi)|^2$及其导致的熵。

实验结果

研究问题

• RQ1 在物理希尔伯特空间无法分解为张量积的格点规范场论中，如何一致地定义纠缠熵？
• RQ2 所提出的纠缠熵定义在$Z_N$规范理论中是否满足强亚加性等标准性质？
• RQ3 在任意空间维度下，$Z_N$规范理论中拓扑态的纠缠熵是多少？
• RQ4 规范固定如何影响纠缠熵，特别是对区域之间的边界？
• RQ5 所提出的定义与文献中其他现有方案相比如何？

主要发现

• 在$Z_N$规范理论中，拓扑态的纠缠熵精确为$\log N$，与有限非阿贝尔群的结果一致。
• 在$Z_N$规范理论中，所提定义满足强亚加性和其他标准纠缠熵性质。
• 在有限非阿贝尔$G$规范理论中，拓扑态的纠缠熵为$\log|G|$，由$p(\pi) = (\dim V_\pi)^2 / |G|$推导得出。
• 区域$V$的约化密度矩阵为$\rho_V = \sum_\pi p(\pi)(\dim V_\pi)^{-2} \sum_{\alpha,\beta} (\sqrt{\dim V_\pi} |\pi_V^{\alpha\beta}\rangle)(\sqrt{\dim V_\pi} \langle\pi_V^{\beta\alpha}|)$，从而实现显式计算。
• 纠缠熵依赖于规范固定的选取，表明在区域之间的边界上进行规范固定会导致非物理结果，应避免。
• 在扩展希尔伯特空间中导出的复制公式，使得阿贝尔与非阿贝尔理论中纠缠熵的系统计算成为可能。