[论文解读] On the deformation of a Barsotti-Tate group over a curve

Jie Xia|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用 4

一句话总结

该论文为一对 $(C, G)$ 建立了提升准则，其中 $C$ 是代数闭域 $k$ 上特征为 $p$ 的光滑射影曲线，且其亏格 $/geq 2$，$G$ 是 $C$ 上的高为 2 的 Barsotti-Tate 群。当 $C$ 是 $G$ 的一个普遍形变时，作者证明该对可唯一地提升至 Witt 环 $W(k)$，并将其应用于将 Mumford 型 Shimura 曲线提升至特征零。

ABSTRACT

In this paper, we study deformations of pairs (C,G) where G is a height 2 BT(or BT_n) group over a complete curve on algebraically closed field k of characteristic p. We prove that, if the curve C is a versal deformation of G, then there exists a unique lifting of the pair to the Witt ring W. We apply this result in the case of Shimura curves to obtain a lifting criterion.

研究动机与目标

• 建立一对 $(C, G)$ 的条件，其中 $C$ 为曲线，$G$ 为 $C$ 上的高为 2 的 $BT$ 群，使其可唯一地提升至 Witt 环 $W(k)$。
• 为从正特征到特征零提升 Mumford 型 Shimura 曲线提供一个准则。
• 将 $BT$ 群的形变理论从仿射基推广至完备曲线，解决全局设定下的障碍问题。
• 将 Kodaira-Spencer 映射条件与 $C$ 作为 $G$ 的形变空间的普遍性联系起来。
• 将提升结果应用于代数化形式族的阿贝尔簇，并证明其在特征零下为 Shimura 曲线。

提出的方法

• 使用形变理论中的上同调方法计算将 $(C, G)$ 提升至 $W_2$ 的障碍类。
• 利用 $C$ 的一阶形变来消除 $W_2$ 中的障碍类，确保局部提升。
• 应用递归形变技术将该对提升至所有 $W_n$，从而在 $\mathrm{Spf}(W)$ 上构造一个形式概形。
• 应用 Grothendieck 的代数化定理，将形式概形代数化为 $W$ 上的概形。
• 利用极大 Higgs 丛条件与 Kodaira-Spencer 同构，确保提升族为 Shimura 曲线。
• 通过辛形式限制的极化提升唯一性，确保提升族保持极化。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，一对 $(C, G)$，其中 $C$ 为完备曲线，$G$ 为 $C$ 上的高为 2 的 $BT$ 群，可唯一地提升至 Witt 环 $W(k)$？
• RQ2 Kodaira-Spencer 映射条件如何与 $C$ 作为 $G$ 的形变空间的普遍性相关联？
• RQ3 能否将具有极大 Higgs 丛和特殊 $p$-可除群结构的阿贝尔簇族的提升代数化为 $W(k)$ 上的 Shimura 曲线？
• RQ4 极化提升的唯一性在 $W$ 上形式族的代数化过程中起什么作用？
• RQ5 对曲线上的 $BT$ 群的形变理论在何种程度上可超越仿射基进行推广？在此过程中会遇到哪些障碍？

主要发现

• 若 $C$ 是 $G$ 的普遍形变，则存在唯一的提升，将该对 $(C, G)$ 提升为 $W(k)$ 上的曲线 $C'$ 和 $G$ 的提升 $G'$。
• 提升 $G'$ 在唯一同构意义下唯一，确保了形变过程中的强刚性。
• Kodaira-Spencer 映射 $T_C \to t_G \otimes t_{G^*}$ 为同构，当且仅当 $C$ 是 $G$ 的普遍形变。
• 当 $C$ 为普遍形变时，$(C, G)$ 提升至 $W_2$ 的障碍消失，从而可递归地提升至所有 $W_n$。
• 通过提升得到的 $W$ 上的阿贝尔簇形式族是可代数化的，且其一般纤维为 Mumford 型 Shimura 曲线。
• 在提升过程中，极化可唯一地提升，从而确保提升族保持极化，因此可代数化。