[论文解读] On the density of exponential functionals of Lévy processes

Juan Carlos Pardo, Víctor Rivero+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2011

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 21被引用 8

一句话总结

本文为指数函数的密度建立了一个积分方程，其中 $ I_{\mathbf{e}_q} = \int_0^{\mathbf{e}_q} e^{\xi_s} \, ds $，$ \xi $ 是一个子调和过程的相反数，$ \mathbf{e}_q $ 是一个独立的速率为 $ q \geq 0 $ 的指数随机变量。主要贡献在于将 Carmona 等人针对 $ q > 0 $ 的结果从 $ q = 0 $ 情况推广，同时在 $ q = 0 $ 且 $ \xi $ 为子调和过程时，明确给出了密度在 0 处的渐近行为；在 $ \xi $ 为谱正的 Lévy 过程且漂向 $ \infty $ 时，给出了密度在 $ \infty $ 处的渐近行为。

ABSTRACT

In this paper, we study the existence of the density associated to the exponential functional of the Lévy process $ξ$, \[ I_{\ee_q}:=\int_0^{\ee_q} e^{ξ_s} \, \mathrm{d}s, \] where $\ee_q$ is an independent exponential r.v. with parameter $q\geq 0$. In the case when $ξ$ is the negative of a subordinator, we prove that the density of $I_{\ee_q}$, here denoted by $k$, satisfies an integral equation that generalizes the one found by Carmona et al. \cite{Carmona97}. Finally when $q=0$, we describe explicitly the asymptotic behaviour at 0 of the density $k$ when $ξ$ is the negative of a subordinator and at $\infty$ when $ξ$ is a spectrally positive Lévy process that drifts to $+\infty$.

研究动机与目标

• 研究指数函数 $ I_{\mathbf{e}_q} = \int_0^{\mathbf{e}_q} e^{\xi_s} \, ds $ 的密度的存在性与性质，其中 $ \xi $ 是一个 Lévy 过程，$ \mathbf{e}_q $ 是一个独立的速率为 $ q \geq 0 $ 的指数时间。
• 填补当 $ q > 0 $ 时密度存在性知识的空白，此前该情况下尚无相关结果。
• 将 Carmona 等人针对 $ q = 0 $ 时建立的 $ I_{\mathbf{e}_q} $ 密度积分方程推广至 $ q > 0 $ 的情形，当 $ \xi $ 为子调和过程的相反数时。
• 刻画当 $ \xi $ 为子调和过程的相反数时，$ I $ 的密度在 0 处的渐近行为，以及当 $ \xi $ 为谱正 Lévy 过程且漂向 $ +\infty $ 时，$ I $ 的密度在 $ \infty $ 处的渐近行为。
• 通过非均匀网格离散化方法，提供密度及其渐近行为的数值示例。

提出的方法

• 推导当 $ \xi $ 为子调和过程的相反数时，$ I_{\mathbf{e}_q} $ 的密度 $ k $ 的广义积分方程，将 Carmona 等人从 $ q = 0 $ 到 $ q > 0 $ 的方程推广。
• 利用子调和过程的 Laplace 指数和 Lévy 测度，将积分方程用 Lévy 测度的尾部 $ \overline{\Pi}(x) = \Pi(x, \infty) $ 表示。
• 采用非均匀网格 $ x_n = (1/c) \Delta^{N-n} $ 的数值离散化方案，以近似密度 $ k $，相较于等距网格更高效。
• 通过反向迭代法求解积分方程，从 $ y_{N-1} $ 开始依次求解 $ y_i $，并归一化以确保总质量为 1。
• 使用开源计算机代数系统 SAGE 执行所有数值计算，包括积分与绘图。
• 在具有显式密度的已知情形下验证该方法，将数值近似 $ \tilde{k} $ 与真实密度 $ k $ 进行比较，并分析比值 $ \tilde{k}(x)/\overline{\Pi}(\log(1/x)) $ 以评估渐近精度。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ q > 0 $ 时，特别是当 $ \xi $ 为子调和过程的相反数时，指数函数 $ I_{\mathbf{e}_q} $ 的密度的存在性与结构是什么？
• RQ2 如何将 $ I_{\mathbf{e}_q} $ 密度的积分方程从 $ q = 0 $ 情况推广至 $ q > 0 $？该广义方程的形式是什么？
• RQ3 当 $ \xi $ 为子调和过程的相反数且 $ q = 0 $ 时，$ I $ 的密度在 0 处的渐近行为是什么？这与 Lévy 测度的尾部有何关联？
• RQ4 当 $ \xi $ 为谱正 Lévy 过程且漂向 $ +\infty $ 且 $ q = 0 $ 时，$ I $ 的密度在 $ \infty $ 处的渐近行为是什么？
• RQ5 所提出的数值方法在近似密度 $ k $ 时的准确性如何，特别是在捕捉 0 附近和 $ \infty $ 处的正确渐近行为方面？

主要发现

• 本文在 $ \xi $ 为子调和过程的相反数且 $ q > 0 $ 的情况下，为 $ I_{\mathbf{e}_q} $ 的密度 $ k $ 建立了广义积分方程，将 Carmona 等人从 $ q = 0 $ 到 $ q > 0 $ 的结果进行了推广。
• 当 $ q = 0 $ 时，对于 $ \xi $ 为子调和过程的相反数，密度 $ k $ 在 0 处的渐近行为被明确描述，其在特定条件下表现为 $ x^{\beta/a - 1} $ 的形式。
• 当 $ q = 0 $ 时，对于 $ \xi $ 为谱正 Lévy 过程且漂向 $ +\infty $ 的情形，密度 $ k $ 在 $ \infty $ 处的渐近行为被描述，其衰减行为为依赖于 Laplace 指数的幂律。
• 采用非均匀网格 $ x_n = (1/c) \Delta^{N-n} $ 的数值方法，能够高效且准确地近似密度 $ k $，在已知情形下，$ \tilde{k} $ 与 $ k $ 的对比图中显示出收敛性。
• 对于稳定子调和过程，当 $ c = 1 $，$ \Pi(dx) = x^{-1-a} dx $，$ a = 1/4 $ 时，数值近似 $ \tilde{k} $ 准确捕捉了在 0 附近的正确幂律衰减，与理论预期一致。
• 对于零 drift 且 Lévy 测度为 $ \Pi(dx) = x^{-1/4} e^{-x^n} dx $ 的子调和过程，数值结果表明密度 $ \tilde{k} $ 的形状依赖于 $ n $，$ n = 1, 2, 3 $ 时呈现出不同的轮廓，且在小 $ x $ 时，比值 $ \tilde{k}(x)/\overline{\Pi}(\log(1/x)) $ 趋近于 1，证实了渐近行为。