[论文解读] On the Derivative Imbalance and Ambiguity of Functions

Shihui Fu, Xiutao Feng+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 2017

Coding theory and cryptography参考文献 22被引用 6

一句话总结

本文建立了一套统一框架，用于分析有限阿贝尔群之间函数的导数不平衡性与模糊性，证明模糊性与Carlet和Ding提出的导数不平衡参数$NB_F$等价。作者推导了$NB_F$的新下界及其与非线性度和差分均匀性的关联，特别针对$ Rubio^n$上的幂函数，改进了现有下界，包括在特定情况下证明$NB_F \geq 6$或$8$。

ABSTRACT

In 2007, Carlet and Ding introduced two parameters, denoted by $Nb_F$ and $NB_F$, quantifying respectively the balancedness of general functions $F$ between finite Abelian groups and the (global) balancedness of their derivatives $D_a F(x)=F(x+a)-F(x)$, $a\\in G\\setminus\\{0\\}$ (providing an indicator of the nonlinearity of the functions). These authors studied the properties and cryptographic significance of these two measures. They provided for S-boxes inequalities relating the nonlinearity $\\mathcal{NL}(F)$ to $NB_F$, and obtained in particular an upper bound on the nonlinearity which unifies Sidelnikov-Chabaud-Vaudenay's bound and the covering radius bound. At the Workshop WCC 2009 and in its postproceedings in 2011, a further study of these parameters was made; in particular, the first parameter was applied to the functions $F+L$ where $L$ is affine, providing more nonlinearity parameters. In 2010, motivated by the study of Costas arrays, two parameters called ambiguity and deficiency were introduced by Panario \\emph{et al.} for permutations over finite Abelian groups to measure the injectivity and surjectivity of the derivatives respectively. These authors also studied some fundamental properties and cryptographic significance of these two measures. Further studies followed without that the second pair of parameters be compared to the first one. In the present paper, we observe that ambiguity is the same parameter as $NB_F$, up to additive and multiplicative constants (i.e. up to rescaling). We make the necessary work of comparison and unification of the results on $NB_F$, respectively on ambiguity, which have been obtained in the five papers devoted to these parameters. We generalize some known results to any Abelian groups and we more importantly derive many new results on these parameters.

研究动机与目标

• 统一并比较两个密码学参数：导数不平衡性（$NB_F$）与模糊性，这两个参数此前分别独立研究。
• 将已知关于$NB_F$与模糊性的结果推广至任意有限阿贝尔群。
• 推导$NB_F$的新下界及其与非线性度和差分均匀性的关联。
• 研究$NB_F$、模糊性与高阶导数或自相关函数之间的关系。
• 改进关于$ Rubio^n$上幂函数的$NB_F$现有下界，特别是当$n$为奇数或$n/2 < m < n$时。

提出的方法

• 作者将导数不平衡性$NB_F$定义为所有非零导数$D_aF$的原像大小方差之和，并进行分析。
• 证明了此前在Costas阵列中研究的模糊性，与$NB_F$在缩放意义下等价，从而统一了此前两个独立的研究方向。
• 利用傅里叶分析，通过函数$F$的傅里叶变换的四阶矩，给出了$NB_F$的表征。
• 对于$ Rubio^n$上的幂函数$F(x) = x^d$，通过计算$D_1F$的原像大小，显式计算出$NB_F$，得到闭式表达式。
• 应用这些结果，推导出$NB_F$的新下界，例如在特定条件下$NB_F \geq 6$或$8$，优于先前的$NB_F \geq 2$的下界。
• 通过分析二阶导数与自相关函数，探索$NB_F$与函数行为之间更深层次的结构联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 Costas阵列理论中使用的模糊性参数是否与Carlet和Ding提出的导数不平衡性$NB_F$等价？
• RQ2 在函数的非线性度与差分均匀性条件下，$NB_F$的最紧可能下界是什么？
• RQ3 如何利用傅里叶变换的四阶矩来表征一般有限阿贝尔群间函数的$NB_F$？
• RQ4 对于$ Rubio^n$上的幂函数，$NB_F$的显式值是多少？其如何依赖于指数$d$与域参数？
• RQ5 能否证明不等式$NB_F > 2^{n-m+2}(2^{n/2}+1)(2^m-1)$，以改进非线性度的覆盖半径界？

主要发现

• 模糊性与$NB_F$在缩放意义下等价，统一了此前两个独立的函数分析研究方向。
• 对于$ Rubio^n$上的幂函数$F(x) = x^d$，作者推导出精确公式$NB_F = 2^n(2^n - 1)(|D_1F^{-1}(1)| - 1) - 2^{2n - m}(2^n - 1)$。
• 当$F$为二次函数时，如$x^{2^i + 2^j}$，该界简化为$NB_F = 2^n(2^n - 1)(2^s - 1)$，其中$s = \gcd(i-j, n)$。
• 本文将$NB_F$的下界从$2$改进为$6$或$8$，在特定情况下（如$n$为奇数且$m < n$，或$n$为偶数且$n/2 < m < n$）尤为显著。
• 作者证明了在这些条件下$NB_F \geq 6$或$8$，相比先前$NB_F \geq 2$的下界有显著提升。
• 本文建立了$NB_F$与傅里叶变换四阶矩之间的联系，为研究非线性度提供了新的分析工具。