[论文解读] On the determination of sets by their triple correlation in finite cyclic groups

Tamás Keleti, Mihail N. Kolountzakis|ArXiv.org|Mar 16, 2006

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 12被引用 3

一句话总结

本论文研究了有限循环群 ℤₙ 的子集在多大程度上由其三重相关性（3-Deck）唯一确定，表明当 n 为奇数时，随机子集几乎必然通过其 3-Deck 唯一确定（至多平移等价）。通过傅里叶分析及对随机集合傅里叶系数的概率界估计，作者建立了非唯一性概率的指数级小上界，显著优于先前的 O(1/√n) 上界。

ABSTRACT

Let $G$ be a finite abelian group and $E$ a subset of it. Suppose that we know for all subsets $T$ of $G$ of size up to $k$ for how many $x \in G$ the translate $x+T$ is contained in $E$. This information is collectively called the $k$-deck of $E$. One can naturally extend the domain of definition of the $k$-deck to include functions on $G$. Given the group $G$ when is the $k$-deck of a set in $G$ sufficient to determine the set up to translation? The 2-deck is not sufficient (even when we allow for reflection of the set, which does not change the 2-deck) and the first interesting case is $k=3$. We further restrict $G$ to be cyclic and determine the values of $n$ for which the 3-deck of a subset of $\ZZ_n$ is sufficient to determine the set up to translation. This completes the work begun by Grünbaum and Moore as far as the 3-deck is concerned. We additionally estimate from above the probability that for a random subset of $\ZZ_n$ there exists another subset, not a translate of the first, with the same 3-deck. We give an exponentially small upper bound when the previously known one was $O(1\bigl / \sqrt{n})$.

研究动机与目标

• 确定在哪些有限循环群 ℤₙ 中，3-Deck 能够唯一确定子集（至多平移等价）。
• 改进已知的关于随机子集不能由其 3-Deck 唯一确定的概率的 O(1/√n) 上界。
• 扩展 Grünbaum 与 Moore 在有限交换群中关于 3-Deck 问题的工作，特别是针对循环群的情形。
• 使用傅里叶分析技术与概率方法，估计 3-Deck 重构中非唯一性的可能性。

提出的方法

• 将 3-Deck 定义为三重相关函数 N_E,3(x,y) = ∑_z χ_E(z)χ_E(z+x)χ_E(z+y)，用于计数集合 E 中的三元组模式的平移。
• 使用傅里叶变换技术，将 3-Deck 与指示函数 χ_E 的傅里叶变换模长联系起来。
• 推导出关键恒等式：N_f,3 ≡ N_g,3 ⟺ |f̂(ξ)| |f̂(η)| = |ĝ(ξ)| |ĝ(η)| 对所有满足 ξ+η=0 的 ξ, η 成立。
• 利用单位根在 ℚ 上的线性无关性及一个关于随机和的引理，建立随机子集傅里叶系数的概率界。
• 引入傅里叶支撑中“可延拓区域”的概念，将傅里叶变换的结构与集合的唯一性联系起来。
• 通过结合 n 的小因数个数与除数函数 d(n) 的增长性，将失败概率细化为 2^{-C_ε n^{1-ε}}。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些有限循环群 ℤₙ，3-Deck 足够唯一确定子集（至多平移等价）？
• RQ2 随机子集不能由其 3-Deck 唯一确定的渐近概率是多少？
• RQ3 能否改进先前已知的关于非唯一性概率的 O(1/√n) 上界？
• RQ4 集合的傅里叶变换支撑结构如何与其 3-Deck 唯一性相关？
• RQ5 除数函数 d(n) 在 3-Deck 重构失败概率的界中起到什么作用？

主要发现

• 当 n 为奇数时，随机子集不能由其 3-Deck 唯一确定的概率至多为 2^{-Cn / log log n}。
• 对任意 ε > 0，随机子集不能由其 3-Deck 唯一确定的概率至多为 2^{-C_ε n^{1-ε}}。
• 上界 2^{-C_ε n^{1-ε}} 显著优于先前的 O(1/√n) 上界。
• 若 χ_E 的傅里叶支撑包含 {1, 2, ..., d(n)}，则 E 由其 3-Deck 唯一确定。
• 证明的关键在于：当傅里叶支撑足够大（包含前 d(n) 个整数）时，其构成一个可延拓区域，从而保证 3-Deck 的唯一性。
• 该结果通过利用单位根在 ℚ 上的线性无关性，对随机集合傅里叶系数消失的概率建立概率界而获得。