[论文解读] On the diagram of 132-avoiding permutations

Astrid Reifegerste|ArXiv.org|Aug 1, 2002

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 11被引用 9

一句话总结

本文通过排列图引入了一种132-避免与321-避免排列之间的新双射，表明132-避免排列的图等价于一个分拆图。其关键贡献在于建立了321-避免排列的超越位置与其132-避免像的下降位置之间的直接对应关系，从而与Krattenthaler及Billey-Jockusch-Stanley的Dyck路径双射相一致。该图示方法还为模式计数提供了双射证明，并通过图上的秩函数给出了132-模式出现次数的公式。

ABSTRACT

The diagram of a 132-avoiding permutation can easily be characterized: it is simply the diagram of a partition. Based on this fact, we present a new bijection between 132-avoiding and 321-avoiding permutations. We will show that this bijection translates the correspondences between these permutations and Dyck paths given by Krattenthaler and by Billey-Jockusch-Stanley, respectively, to each other. Moreover, the diagram approach yields simple proofs for some enumerative results concerning forbidden patterns in 132-avoiding permutations.

研究动机与目标

• 通过图表示建立132-避免与321-避免排列之间新的组合双射。
• 证明132-避免排列的图等价于一个分拆图，从而简化结构分析。
• 表明所提出的双射保持Krattenthaler与Billey-Jockusch-Stanley所建立的Dyck路径对应关系。
• 为关于附加禁止模式的受限132-避免排列的已知枚举结果提供双射证明。
• 通过图上的秩函数推导出任意排列中132-模式出现次数的公式。

提出的方法

• 排列π的图通过在点(i, πi)处放置点，将每个点的东侧和南侧所有格子涂色，并将未涂色区域定义为D(π)。
• 基本集E(π)由D(π)的连通分支的角点构成，角点(i,j)的秩ρ((i,j))为以(i,j)为右上角、左下角在西北方向的矩形内所含点的数量。
• 132-避免排列π的特征是D(π)为包含(1,1)的单个连通分支，这对应于一个分拆图。
• 该双射将321-避免排列π的超越位置及其值映射到132-避免排列σ的下降位置及其值。
• 在Billey-Jockusch-Stanley对应关系下与π关联的Dyck路径，通过基于图的双射，与在Krattenthaler对应关系下与σ关联的Dyck路径完全一致。
• π中132-模式出现的次数等于D(π)中所有格子(i,j)的秩函数ρ((i,j))之和。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用图结构构建132-避免与321-避免排列之间的双射？
• RQ2 321-避免排列的超越位置与其132-避免像的下降位置之间的确切关系是什么？
• RQ3 在新的基于图的双射下，Krattenthaler与Billey-Jockusch-Stanley的Dyck路径对应关系如何关联？
• RQ4 该图示方法能否为132-避免排列在附加禁止模式下的已知枚举结果提供双射证明？
• RQ5 对图中所有格子的秩函数之和的精确组合解释是什么，其与132-模式出现次数的关系如何？

主要发现

• 132-避免排列的图是包含(1,1)的单个连通分支，且该结构等价于一个分拆图。
• 所提出的双射将321-避免排列的超越位置直接映射为其132-避免像的下降位置，保持了组合结构。
• 在新双射下，Krattenthaler与Billey-Jockusch-Stanley的Dyck路径完全一致，从而在两种已知构造之间建立了直接联系。
• 排列π中132-模式出现的次数等于D(π)中所有格子(i,j)的秩函数ρ((i,j))之和，从而给出一个新精确公式。
• 该图示方法为恒等式 |S_n(132,12⋯k)| = |S_n(132,s(s+1)⋯k12⋯(s−1))| 对所有n, k ≥ 3及2 ≤ s ≤ k 成立提供了双射证明。
• 图的大小|D(π)|等于π中的逆序数，且对D(π)的无权重求和可计数21-模式。