[论文解读] Restricted permutations and Chebyshev polynomials

Toufik Mansour, Alek Vainshtein|ArXiv.org|Nov 17, 2000

Advanced Combinatorial Mathematics被引用 56

一句话总结

本文建立了受限排列（特别是避免 $\SS_3$ 和 $\SS_k$ 中某些模式的排列）与第二类切比雪夫多项式之间的深层联系。通过转移矩阵、连分数以及块分解技术，证明了此类排列的生成函数为有理函数，且可用切比雪夫多项式表示，推广了早期结果，并统一了 $132$、$321$ 及层状模式的威尔夫类。

ABSTRACT

We study generating functions for the number of permutations in $\SS_n$ subject to two restrictions. One of the restrictions belongs to $\SS_3$, while the other to $\SS_k$. It turns out that in a large variety of cases the answer can be expressed via Chebyshev polynomials of the second kind.

研究动机与目标

• 统一并推广关于避免 $\SS_3$ 和 $\SS_k$ 中特定模式的排列的生成函数的已知结果。
• 证明这些生成函数可通过第二类切比雪夫多项式表示。
• 通过引入层状模式和多重限制，扩展先前关于威尔夫等价性的结果。
• 使用转移矩阵和连分数，为生成函数提供解析证明。
• 探索模式避免排列中观察到的对称性是否存在双射解释。

提出的方法

• 利用转移矩阵建模避免模式排列中的状态转移，通过矩阵子式推导生成函数。
• 应用连分数展开以建模避免 $132$ 或 $321$ 的排列结构，通过弗拉约莱特对应关系将其与迪克路径联系起来。
• 使用块分解刻画避免 $L_p$ 模式的排列（$132$ 的推广），实现生成函数的递归构造。
• 通过第二类切比雪夫多项式 $U_r(x)$ 定义有理函数 $R_k(x)$，其中 $R_k(x) = \frac{2tU_{k-1}(t)}{U_k(t)}$，$t = \frac{1}{2\sqrt{x}}$。
• 引入层状模式 $[k,m]$ 和 $L_p$ 以推广 $132$ 和 $321$ 避免情形，利用递归组合结构推导生成函数。
• 证明涉及卡塔兰数和生成函数的恒等式，以验证 $F_T(x)$ 的有理性和闭式表达。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否用切比雪夫多项式表示同时避免 $132$ 和 $k$-循环模式 $[k,m]$ 的排列的生成函数？
• RQ2 $L_p$-避免排列的块分解如何导致涉及 $R_k(x)$ 的有理生成函数？
• RQ3 是否存在对 $F_{\{L_4, [k,m]\}}(x) = F_{\{L_4, [k]\}}(x)$ 在 $m = k-1$ 时成立的双射解释？
• RQ4 为何 $\{321, [k,m]\}$ 和 $\{132, [k,m]\}$ 的生成函数相同？该等式能否通过双射证明？
• RQ5 计算结果表明 $G^r_{321;[k,1]}(x)$ 和 $G^r_{321;[k,2]}(x)$ 对所有 $r \leq k$ 相等，这一现象是否普遍成立？

主要发现

• 避免 $\{132, [k]\}$、$\{132, [k,m]\}$ 或 $\{321, [k,m]\}$ 的排列的生成函数 $F_T(x)$ 等于 $R_k(x)$，即通过第二类切比雪夫多项式定义的有理函数。
• 当 $p=4$ 时，生成函数 $F_{\{L_4, [k]\}}(x)$ 为 $1 + x + x^2 R_k(x) R_{k-1}(x) (R_{k-1}(x) + R_{k-2}(x))$，其中 $L_4$ 为模式集合 $\{1324, 1423, 1342, 1432, 3142, 4132\}$。
• 对一般 $p > 3$，生成函数 $F_{\{L_p, [k]\}}(x)$ 表示为包含 $x^{p-2}$、$R_k(x)$ 和 $N(a)$ 的乘积之和，其中 $N(a)$ 为具有给定 $a$-序列（递增子序列指示符）的排列数。
• 生成函数 $F_{\{L_4, [k,m]\}}(x)$ 显式地以切比雪夫多项式 $U_r(t)$ 表示，$t = \frac{1}{2\sqrt{x}}$，表明其对 $k$ 和 $m$ 的有理依赖关系。
• 生成函数 $G^r_{321;[k,1]}(x)$（即恰好包含 $r$ 个 $[k,1]$ 的排列）为 $\frac{U^{r-1}_{k-1}(t)}{(2t)^{r-1} U^{r+1}_k(t)}$，将模式统计与迪克路径计数联系起来。
• 等式 $F_{\{L_4, [k,k-1]\}}(x) = F_{\{L_4, [k]\}}(x)$ 成立，表明 $m=k-1$ 情形在生成函数上不超出 $[k]$-避免情形的范围。