[论文解读] On the difference between Poincaré and Lorentz gravity

Jia-An Lu|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2017

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 39被引用 4

一句话总结

本文表明，在引力理论中，洛伦兹对称性和微分同胚不变性并不蕴含庞加莱对称性，因为此类理论中能量-动量守恒失效。通过引入局部惯性坐标（LIC），作者将庞加莱对称性重新表述为一种内禀对称性，推导出角动量与能量-动量流的统一守恒律，该结果可推广至任意规范下。

ABSTRACT

The Poincaré invariance of GR is usually interpreted as Lorentz invariance plus diffeomorphism invariance. In this paper, by introducing the local inertial coordinates (LIC), it is shown that a theory with Lorentz and diffeomorphism invariance is not necessarily Poincaré invariant. Actually, the energy-momentum conservation is violated there. On the other hand, with the help of the LIC, the Poincaré invariance is reinterpreted as an internal symmetry. In this formalism, the conservation law is derived, which has not been sufficiently explored before.

研究动机与目标

• 澄清引力理论中庞加莱对称性、洛伦兹对称性和微分同胚不变性之间的区别。
• 表明具有洛伦兹对称性和微分同胚不变性的理论不一定是庞加莱不变的，因为能量-动量守恒失效。
• 通过局部惯性坐标（LIC）将庞加莱对称性重新表述为内禀对称性，使引力可作为规范场论进行统一处理。
• 推导出角动量与能量-动量流的广义守恒律，其在洛伦兹规范下退化为标准形式。
• 提供比以往方法更优雅且协变的守恒律表述，尤其避免使用非协变导数。

提出的方法

• 引入局部惯性坐标（LIC）作为动力学场，将卡坦的矢径场推广，使庞加莱对称性显式表现为内禀对称性。
• 使用洛伦兹连接与 tetrad 构造洛伦兹规范引力理论，表明微分同胚不变性并不导致能量-动量守恒。
• 通过庞加莱连接与 LIC 构造庞加莱规范引力理论，庞加莱协变导数确保了正确的变换性质。
• 通过诺特定理应用于庞加莱对称性推导守恒律，得到方程 $ D_a V_{[eta]}^{eta]a} = -V_{[eta]} heta^{eta]} $ 和 $ D_a V_{eta}^{4a} = -V_{eta} l $，其中 $ V_A $ 为诺特流。
• 证明在洛伦兹规范下，广义守恒律退化为角动量与能量-动量守恒的标准形式。
• 将 LIC 形式与其它方法（如非线性实现、卡坦几何）进行比较，认为其在无对称性自发破缺的拉格朗日形式中更具优势。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有洛伦兹对称性和微分同胚不变性的理论是否必然表现出庞加莱对称性和能量-动量守恒？
• RQ2 庞加莱对称性如何在引力中一致地表述为内禀对称性？
• RQ3 局部惯性坐标（LIC）在统一庞加莱与 de Sitter/anti-de Sitter 引力中起什么作用？
• RQ4 能否在洛伦兹规范之外，以显式庞加莱协变形式推导出角动量与能量-动量流的守恒律？
• RQ5 为何以往庞加莱引力中守恒律的表述无法保持完整的庞加莱协变性？

主要发现

• 具有洛伦兹对称性和微分同胚不变性的理论不一定是庞加莱不变的，因为缺乏作为内禀对称性的平动对称性，导致能量-动量守恒失效。
• 引入局部惯性坐标（LIC）后，庞加莱对称性可被解释为内禀对称性，类似于洛伦兹对称性，从而实现一致的规范场论表述。
• 角动量与能量-动量流的广义守恒律被推导为 $ D_a V_{[eta]}^{eta]a} = -V_{[eta]} heta^{eta]} $ 和 $ D_a V_{eta}^{4a} = -V_{eta} l $，这些表达式显式保持庞加莱协变性，并在洛伦兹规范下退化为标准形式。
• 在洛伦兹规范下，广义流退化为标准表达式：$ ar{D}_a au_{etaeta}^a = -V_{[etaeta]} $ 和 $ abla_a V_b^a = -V_c^a K_c^{ab} - au_c^{da} R_c^{dab} $，与已有结果一致。
• 该形式表明，dS/AdS 引力框架可将 AM 与 EM 守恒统一为单一方程 $ D_a V_{AB}^a = heta_{[A} V_{B]} $，暗示其比庞加莱引力更具优雅性。
• 本文指出了 Kawai 早期尝试中的关键缺陷：其守恒律未使用庞加莱协变导数，导致角动量守恒形式不优雅且不一致。