[论文解读] On the enumeration of labelled hypertrees and of labelled bipartite trees

Roland Bacher|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2011

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 13被引用 5

一句话总结

本文提出了一种用于计算指定顶点度数和超边大小的标记超树及二分树的闭式公式，利用涉及多项式系数和斯特林数的组合恒等式。主要贡献是一个统一的计数公式，该公式推广了凯莱公式，并通过第一类斯特林数扩展至加权超树。

ABSTRACT

We give a simple formula for the number of hypertrees with $k$ hyperedges of given sizes and $n+1$ labelled vertices with prescribed degrees. A slight generalization of this formula counts labelled bipartite trees with prescribed degrees in each class of vertices.

研究动机与目标

• 推导出具有指定顶点度数和超边大小的标记超树数量的闭式公式。
• 推广现有关于标记树和超树的结果，包括胡西米公式和埃尔德利基-埃瑟林顿的度数受限枚举。
• 建立超树计数与第一类和第二类斯特林数之间的联系。
• 通过基于父子关系的新编码方法，为标记二分树的计数提供双射证明。
• 利用度序列和多项式系数，在单一组合框架下统一超树和二分树的计数。

提出的方法

• 使用多项式系数和基于划分的度数约束，推导出标记超树数量的公式，表达为 $ \binom{n}{\boldsymbol{\nu}} \frac{1}{\boldsymbol{\nu}!} \binom{k-1}{\boldsymbol{\nu}} $，其中 $ \boldsymbol{\nu} $ 表示大小划分中各部分的重数。
• 引入生成函数形式：$ \frac{n!}{\boldsymbol{\nu}!} \frac{(k-1)!}{\boldsymbol{\nu}!} \frac{1}{\boldsymbol{\nu}!} $，通过对称函数将顶点度数和超边大小联系起来。
• 在基于顶点顺序的递归构造基础上，建立标记二分树与编码父子关系的两字词对 $ (W, W') $ 之间的双射，该关系存在于一个根化的二分森林中。
• 类比普吕弗码，定义 $ (n+1)^{n-1} $ 与由子集索引的乘积空间并集之间的一一对应，从而导出涉及和的幂的组合恒等式。
• 应用二项式定理，将度数生成函数转化为对称多项式恒等式，使计数可通过对称函数理论实现。
• 利用第一类斯特林数定义超树的加权计数，其中权重为 $ (\text{size}-1)! $ 的乘积，从而导出涉及 $ S_1(n,k) $ 的带符号恒等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有 $ n+1 $ 个顶点（指定度数）和 $ k $ 个大小给定的超边的标记超树的确切数量是多少？
• RQ2 如何将标记二分树的计数问题简化为一个组合词编码问题？
• RQ3 超树计数与第一类和第二类斯特林数之间存在何种关系？
• RQ4 能否通过基于父节点编码的词对构造出标记二分树计数的双射证明？
• RQ5 生成函数恒等式 $ (x_0 + \tdots + x_n)^{n-1} = \text{对子集求和 } (x_0 + \text{sum}_A x_j)^{n-1-|A|} ( \text{sum}_{\bar{A}} x_j )^{|A|} $ 背后的对称恒等式是什么？

主要发现

• 具有 $ n+1 $ 个顶点（度数为 $ 1+\nu_i $）和 $ k $ 个大小为 $ 1+\nu_j $ 的超边的标记超树数量由 $ \binom{n}{\boldsymbol{\nu}} \frac{1}{\boldsymbol{\nu}!} \binom{k-1}{\boldsymbol{\nu}} $ 给出，其中 $ \boldsymbol{\nu} $ 表示大小的重数。
• 度序列的生成函数为 $ \frac{n!}{\boldsymbol{\nu}!} \frac{(k-1)!}{\boldsymbol{\nu}!} \frac{1}{\boldsymbol{\nu}!} $，其简化形式为 $ \binom{n}{\boldsymbol{\nu}} \frac{1}{\boldsymbol{\nu}!} (x_0 + \tdots + x_n)^{k-1} $，推广了凯莱公式。
• 具有 $ k $ 个超边和 $ n+1 $ 个顶点的标记超树数量为 $ (n+1)^{k-1} S_2(n,k) $，其中 $ S_2(n,k) $ 是第二类斯特林数。
• 对超树进行加权计数可得 $ (-1)^{n+k} (n+1)^{k-1} S_1(n,k) $，其中 $ S_1(n,k) $ 是第一类斯特林数的无符号版本。
• 通过基于根森林中父子关系的两字词 $ (W, W') $ 对标记二分树进行双射编码，建立了与字词乘积空间之间的一一对应。
• 该双射导出恒等式 $ (x_0 + \tdots + x_n)^{n-1} = \text{对子集 } A \text{ 求和 } (x_0 + \text{sum}_A x_j)^{n-1-|A|} ( \text{sum}_{\bar{A}} x_j )^{|A|} $，其特例为 $ (n+1)^{n-1} = \text{sum}_k \binom{n}{k} (k+1)^{n-1-k} (n-k)^k $。