[论文解读] On the exceptional set for absolute continuity of Bernoulli convolutions

Pablo Shmerkin|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2013

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 13被引用 5

一句话总结

该论文证明了在 (1/2, 1) 中使得伯努利卷积奇异的异常参数 λ 的集合具有零 Hausdorff 维数，并将此结果推广至带偏倚的伯努利卷积以及齐次自相似测度的卷积。证明依赖于自相似测度的傅里叶衰减、卷积的维数结果，以及一种新颖的卷积分解方法，该方法将具有全维的测度与具有幂次傅里叶衰减的测度分离，从而在超临界 regime 中得出绝对连续性的异常集合为零维。

ABSTRACT

We prove that the set of exceptional $λ\in (1/2,1)$ such that the associated Bernoulli convolution is singular has zero Hausdorff dimension, and likewise for biased Bernoulli convolutions, with the exceptional set independent of the bias. This improves previous results by Erdös, Kahane, Solomyak, Peres and Schlag, and Hochman. A theorem of this kind is also obtained for convolutions of homogeneous self-similar measures. The proofs are very short, and rely on old and new results on the dimensions of self-similar measures and their convolutions, and the decay of their Fourier transform.

研究动机与目标

• 确定参数 λ ∈ (1/2, 1) 的异常集合大小，使得对应的伯努利卷积是奇异的而非绝对连续的。
• 将此结果推广至带偏倚的伯努利卷积以及齐次自相似测度的卷积，表明无论偏倚大小或测度结构如何，异常集合的维数仍为零。
• 建立在超临界 regime（相似维数 > 1）中，导致奇异测度的参数集合的 Hausdorff 维数为零，相较于以往结果中异常集合具有全维或正维数，本研究实现了改进。
• 通过构建一种卷积分解，将不同动力行为分离，统一并简化了现有关于自相似测度维数与傅里叶衰减的研究结果。

提出的方法

• 将伯努利卷积分解为两个测度的卷积：一个在零维异常集合外具有全 Hausdorff 维数，另一个在零维异常集合外具有幂次傅里叶衰减。
• 利用超临界 regime 下自相似测度维数的已知结果，证明测度的维数在零维异常集合外等于 1（即全维）。
• 利用自相似测度傅里叶衰减的经典结果——源自 Erdős 与 Kahane 的工作——表明傅里叶变换在零维异常集合外呈现幂次衰减。
• 应用卷积结构论证：若 μ * ν 是绝对连续的，且 μ 具有全维，则在适当条件下 μ * ν 保持绝对连续性，该结论由引理 2.1 形式化。
• 利用维数与傅里叶衰减的异常集合为零维且在代数运算（如 λ ↦ λ^k）下封闭的性质，其在所有 k 上的并集仍为零维。
• 应用关于具有解析依赖关系的 IFS 参数族的定理 3.1，确保参数空间中维数结果在零维异常集合外成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 参数 λ ∈ (1/2, 1) 中使得伯努利卷积奇异的集合的 Hausdorff 维数是多少？
• RQ2 能否证明带偏倚伯努利卷积的绝对连续性异常集合与偏倚无关，且其 Hausdorff 维数为零？
• RQ3 两个齐次自相似测度的卷积在参数的异常集合外是否具有全维或绝对连续性？
• RQ4 能否通过卷积与傅里叶衰减技术，将超临界 regime 中绝对连续性异常集合的维数从全维或正维数降低至零维？

主要发现

• 使得伯努利卷积奇异的 λ ∈ (1/2, 1) 的集合具有 Hausdorff 维数零。
• 对于带偏倚的伯努利卷积，导致奇异测度的异常参数集合与偏倚无关，且其 Hausdorff 维数为零。
• 齐次自相似测度卷积的绝对连续性异常集合同样具有零 Hausdorff 维数，即使测度不相同亦成立。
• 该证明依赖于将测度分解为一个全维测度与一个具有幂次傅里叶衰减测度的卷积，二者在零维异常集合外均表现良好。
• 该结果在超临界 regime（相似维数 > 1）中对所有参数一致成立，异常集合为可数个零维集合的并集，因此其本身也为零维。