[论文解读] On the modulus of continuity for spectral measures in substitution dynamics

Alexey Bufetov, Boris Solomyak|arXiv (Cornell University)|May 31, 2013

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 23被引用 5

一句话总结

本文首次对替换动力系统中谱测度的模连续性给出了定量估计，证明了在替换系统上的悬垂流中谱测度的霍尔德（Hölder）与对数霍尔德（log-Hölder）边界。研究通过矩阵Riesz积表示和丢番图逼近技术推导出这些结果，并将其应用于伯努利卷积和伪阿诺索夫曲面上的平移流。

ABSTRACT

The paper gives first quantitative estimates on the modulus of continuity of the spectral measure for weak mixing suspension flows over substitution automorphisms, which yield information about the "fractal" structure of these measures. The main results are, first, a Hoelder estimate for the spectral measure of almost all suspension flows with a piecewise constant roof function; second, a log-Hoelder estimate for self-similar suspension flows; and, third, a Hoelder asymptotic expansion of the spectral measure at zero for such flows. Our second result implies log-Hoelder estimates for the spectral measures of translation flows along stable foliations of pseudo-Anosov automorphisms. A key technical tool in the proof of the second result is an "arithmetic-Diophantine" proposition, which has other applications. In the appendix this proposition is used to derive new decay estimates for the Fourier transforms of Bernoulli convolutions.

研究动机与目标

• 为替换动力系统中谱测度的模连续性提供首次定量估计。
• 分析由替换自同构上的悬垂流所产生的谱测度的分形与维数类似性质。
• 在分段常数与自相似悬垂流的情况下，建立谱测度的霍尔德与对数霍尔德连续性估计。
• 利用算术-丢番图命题，推导出偏置伯努利卷积的傅里叶变换的新衰减估计。
• 将谱测度的正则性与遍历理论中的动力学性质（如弱混合性与不变测度）相联系。

提出的方法

• 使用矩阵Riesz积表示替换自同构的谱测度，推广经典Riesz积构造。
• 利用命题3.5控制矩阵乘积的元素，将谱测度问题转化为丢番图逼近问题。
• 应用广义Erdős-Kahane方法，估计分段常数悬垂流中例外屋顶函数的豪斯多夫维数。
• 通过命题5.5建立自相似悬垂流的对数霍尔德连续性，该命题利用了皮索特数与萨勒姆数理论。
• 利用先前工作中的遍历积分与有限可加不变测度，推导谱测度在零点的渐近展开。
• 借助算术-丢番图命题，推导出偏置伯努利卷积的傅里叶变换的新衰减估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 悬垂流在替换系统上的谱测度的最优模连续性是什么？
• RQ2 谱测度的分形性质（如豪斯多夫维数）如何与底层替换系统的动力学相关？
• RQ3 自相似悬垂流能否建立对数霍尔德连续性？这对相关动力系统意味着什么？
• RQ4 偏置伯努利卷积的傅里叶变换的衰减率是多少？它们与谱测度正则性有何关联？
• RQ5 替换矩阵的算术性质（如Perron-Frobenius特征值）在多大程度上影响谱测度的正则性？

主要发现

• 本文为几乎所有具有分段常数屋顶函数的悬垂流的谱测度建立了统一的霍尔德估计，且在零点以外区域成立。
• 对于自相似悬垂流，谱测度满足对数霍尔德连续性估计，该估计是精确的，并可推出改进的维数界。
• 谱测度在零点处具有霍尔德渐近展开，自相似流的霍尔德指数可显式计算。
• 自相似流的对数霍尔德估计意味着伪阿诺索夫自同构的稳定叶状结构上的平移流的谱测度也具有类似估计。
• 证明了一个算术-丢番图命题，使能够推导出伯努利卷积的傅里叶变换的新衰减估计。
• 推论8.3表明，对于任意 $ p \neq 1/2 $，偏置伯努利卷积 $ \nu_\theta^p $ 的傅里叶变换满足 $$ \sup_{\xi} |\widehat{\nu}_\lambda^p(\xi)| (\log(2+|\xi|))^\alpha < \infty $$ 对某个 $ \alpha > 0 $ 成立，当 $ \lambda = \theta^{-1} $ 且 $ \theta $ 为具有模大于单位圆的共轭的代数整数时。