[论文解读] On the existence of non-hyperbolic ergodic measures as the limit of periodic measures

Christian Bonatti, Jinhua Zhang|arXiv (Cornell University)|Jun 20, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文在两种鲁棒动力系统设定下确立了非双曲遍历测度的存在性：即远离同宿切线的鲁棒遍历微分同胚，以及具有鲁棒环路的微分同胚。通过使用 [G] 中的追踪引理，作者在不扰动动力系统的情况下构造了中心李雅普诺夫指数趋于零的周期轨道，证明了此类非双曲测度——其支撑为整个流形或紧致不变集——可作为周期轨道的弱*极限而出现。

ABSTRACT

[GIKN] and [BBD1] propose two very different ways for building non hyperbolic measures, [GIKN] building such a measure as the limit of periodic measures and [BBD1] as the $ω$-limit set of a single orbit, with a uniformly vanishing Lyapunov exponent. The technique in [GIKN] was essentially used in a generic setting, as the periodic orbits were built by small perturbations. It is not known if the measures obtained by the technique in [BBD1] are accumulated by periodic measures. In this paper we use a shadowing lemma from [G]: $\bullet$for getting the periodic orbits in [GIKN] without perturbing the dynamics, $\bullet$for recovering the compact set in [BBD1] with a uniformly vanishing Lyapunov exponent by considering the limit of periodic orbits. As a consequence, we prove that there exists an open and dense subset $\mathcal{U}$ of the set of robustly transitive non-hyperbolic diffeomorphisms far from homoclinic tangencies, such that for any $f\in\mathcal{U}$, there exists a non-hyperbolic ergodic measure with full support and approximated by hyperbolic periodic measures. We also prove that there exists an open and dense subset $\mathcal{V}$ of the set of diffeomorphisms exhibiting a robust cycle, such that for any $f\in\mathcal{V}$, there exists a non-hyperbolic ergodic measure approximated by hyperbolic periodic measures.

研究动机与目标

• 解决一个开放问题：通过 [BBD1] 方法（作为中心李雅普诺夫指数趋于零的 ω 极限集）构造的非双曲遍历测度是否可被周期测度逼近。
• 证明通过 [GIKN] 准则（作为周期测度的弱*极限）构造的非双曲遍历测度可在不扰动动力系统的情况下实现。
• 通过证明两种不同的非双曲测度构造方法均可在开稠密的几何条件下实现为双曲周期测度的极限，从而统一二者。
• 确立此类非双曲遍历测度具有全支撑，并可被中心李雅普诺夫指数趋于零的周期轨道逼近。

提出的方法

• 应用 [G] 中的追踪引理，在不进行动力系统扰动的前提下，于鲁棒环路附近构造周期轨道。
• 利用 [GIKN] 准则（通过 [BDG, 引理 2.5]）确保周期测度的弱*极限为遍历且非双曲的。
• 构造一列双曲周期轨道，其中心李雅普诺夫指数以指数方式趋于零，从而保证极限测度为非双曲的。
• 采用 [BBD1] 中的“任意尺度下可控”准则，将具有零中心李雅普诺夫指数的紧致不变集恢复为周期轨道的豪斯多夫极限。
• 利用李雅普诺夫指数函数的统一连续性及稳定/不稳定流形的统一大小，确保周期轨道之间的同宿关系。
• 应用引理 2.3，保证周期轨道上的狄拉克测度收敛于具有全支撑的非双曲遍历测度。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过周期测度逼近 [BBD1] 方法中以 ω 极限集构造的非双曲遍历测度？
• RQ2 能否在不扰动动力系统的情况下，利用追踪技术实现 [GIKN] 中周期轨道构造？
• RQ3 在鲁棒遍历非双曲微分同胚的开稠密子集中，是否存在非双曲遍历测度以全支撑作为周期测度的弱*极限？
• RQ4 能否将 [BBD1] 中具有零中心李雅普诺夫指数的紧致不变集恢复为周期轨道的豪斯多夫极限？
• RQ5 在中心李雅普诺夫指数趋于零的轨道上，周期测度的弱*极限是否产生支撑于同一紧致集的遍历测度？

主要发现

• 存在一个开稠密子集 𝒰 ⊂ 鲁棒遍历非双曲微分同胚（远离同宿切线），使得对每个 f ∈ 𝒰，存在一个具有全支撑的非双曲遍历测度，其为双曲周期测度的弱*极限。
• 对任意 f 属于一个开稠密子集 𝒱 ⊂ 具有鲁棒环路的微分同胚，存在一个非双曲遍历测度，其为双曲周期测度的弱*极限。
• 通过追踪引理构造的周期轨道序列，其中心李雅普诺夫指数以指数方式趋于零，从而保证极限测度为非双曲的。
• 周期轨道的豪斯多夫极限包含 [BBD1] 中的紧致不变集 K′_f，该集合支撑具有零中心李雅普诺夫指数的非双曲遍历测度。
• 周期测度的任意弱*极限测度要么支撑于 K′_f，要么为唯一周期测度，意味着极限测度为遍历且非双曲的。
• 由于周期轨道以 ε_n-稠密方式逼近（其中 ε_n → 0），极限非双曲遍历测度的支撑为整个流形 M。