[论文解读] Hyperbolicity versus non-hyperbolic ergodic measures inside homoclinic classes

Cheng, Cheng, Sylvain Crovisier+3 more|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 17被引用 3

一句话总结

该论文证明了对于 $C^1$-拟然微分同胚，任意非双曲的同宿类必然支持一个非双曲的遍历测度，从而证实了Díaz与Gorodetski的猜想。论证依赖于李雅普诺夫指数的分析以及在双曲性失效时通过扰动检测异宿环或周期点吸引子，利用拟然性排除了不同指标的周期点，并确立了测度的非双曲性。

ABSTRACT

We prove that, for $C^1$-generic diffeomorphisms, if a homoclinic class is not hyperbolic, then there is a non-hyperbolic ergodic measure supported on it. This proves a conjecture by Díaz and Gorodetski [28]. We also discuss the conjectured existence of periodic points with different stable dimension in the class.

研究动机与目标

• 解决Díaz与Gorodetski关于$C^1$-拟然微分同胚的非双曲同宿类中非双曲遍历测度存在的猜想。
• 通过聚焦于同宿类而非全局系统，建立更广泛非双曲动力学猜想的局部版本。
• 通过分析李雅普诺夫指数与周期轨道结构，阐明非双曲性在同宿类中的动力学含义。
• 证明同宿类中双曲性的缺失意味着存在一个非双曲的不变测度，利用扰动技术和拟然性论证。

提出的方法

• 利用$C^1$-拟然性确保周期点在链递归集中稠密，且同宿类与包含周期轨道的链递归类重合。
• 应用$C^1$-稳定性猜想及非一致双曲性的结果，分析不变测度的李雅普诺夫指数。
• 采用扰动技术在李雅普诺夫指数趋近于零时检测异宿环或吸引子，使用定理2.9与命题3.1。
• 分析同宿类上的支配分解与最细支配分解，以分类可能的动力学结构。
• 利用非双曲性意味着存在非双曲测度或存在不同指标的周期点，且通过拟然性排除后者。
• 应用测度逼近周期轨道的结果以及中心李雅普诺夫指数在小扰动下的行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个$C^1$-拟然微分同胚的非双曲同宿类是否都支持一个非双曲的遍历测度？
• RQ2 同宿类中双曲性的缺失是否可通过周期轨道及其测度的李雅普诺夫指数行为来检测？
• RQ3 当同宿类包含具有不同稳定维数的周期点时，会产生何种动力学障碍？
• RQ4 在何种条件下，扰动能在非双曲同宿类中生成异宿环或吸引子？
• RQ5 在拟然性假设下，是否可以排除非双曲同宿类中存在不同指标周期点的可能性？

主要发现

• 对于$C^1$-拟然微分同胚，若同宿类$H(p)$非双曲，则其至少支持一个非双曲的遍历测度。
• 若$H(p)$中存在一列周期点，其李雅普诺夫指数从两侧趋近于零，则可通过$C^1$-小扰动生成异宿环。
• 若$H(p)$中所有周期点具有相同指标且该类非双曲，则要么存在具有一维中心丛的拟双曲分解，要么该类具有具有二维中心丛的最细支配分解。
• 当周期轨道的中心李雅普诺夫指数从正侧趋近于零时，任意小的扰动均可生成收敛于$H(p)$的吸引子序列，从而暗示测度的非双曲性。
• 在$C^1$-拟然性下，$H(p)$中不存在不同指标周期点，这使得可以得出结论：非双曲性必须反映在测度结构中。
• 该结果不适用于非周期类，因为存在$C^1$-拟然微分同胚，其非周期类仅支持双曲的遍历测度。