[论文解读] On the Fill-in of Nonnegative Scalar Curvature Metrics

Yuguang Shi, Wenlong Wang+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2019

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 22被引用 4

一句话总结

本文研究了巴特尼克数据 $(Σ^{n-1}, \gamma, H)$ 的非负标量曲率（NNSC）填充度量的存在性，证明当 $\gamma$ 同痕于 $\mathbf{S}^{n-1}$ 上的标准度量时，较大的平均曲率 $H$ 或较大的总平均曲率 $\int H\,d\mu_\gamma$ 会排除 NNSC 填充；并在维度 $3 \leq n \leq 7$ 中，通过 $\theta$-不变量和粘合技术建立了正标量曲率（PSC）填充的充分条件。结果部分证实了格罗莫夫在标量曲率几何中关于平均曲率界限的猜想。

ABSTRACT

In the first part of this paper, we consider the problem of fill-in of nonnegative scalar curvature (NNSC) metrics for a triple of Bartnik data $(Σ,γ,H)$. We prove that given a metric $γ$ on $\mathbf{S}^{n-1}$ ($3\leq n\leq 7$), $(\mathbf{S}^{n-1},γ,H)$ admits no fill-in of NNSC metrics provided the prescribed mean curvature $H$ is large enough (Theorem ef{Thm: no fillin nonnegative scalar 2}). Moreover, we prove that if $γ$ is a positive scalar curvature (PSC) metric isotopic to the standard metric on $\mathbf{S}^{n-1}$, then the much weaker condition that the total mean curvature $\int_{\mathbf S^{n-1}}H\,\mathrm dμ_γ$ is large enough rules out NNSC fill-ins, giving an partially affirmative answer to a conjecture by Gromov (see P.\,23 in \cite{Gromov4}). In the second part of this paper, we investigate the $θ$-invariant of Bartnik data and obtain some sufficient conditions for the existence of PSC fill-ins.

研究动机与目标

• 确定巴特尼克数据 $(\Sigma^{n-1}, \gamma, H)$ 在何种条件下可 admits 非负标量曲率的填充度量。
• 研究平均曲率 $H$ 和总平均曲率 $\int H\,d\mu_\gamma$ 在阻碍 NNSC 填充中的作用。
• 为格罗莫夫在标量曲率几何中关于平均曲率界限的猜想提供部分肯定回答。
• 通过 $\theta$-不变量和几何粘合技术，建立正标量曲率（PSC）填充存在的充分条件。
• 将三维结果推广至更高维度（$3 \leq n \leq 7$），以解决标量曲率填充问题。

提出的方法

• 使用史瓦西颈部构造来构建具有预设边界平均曲率的初始 PSC 度量。
• 沿超曲面应用粘合过程，将两个具有匹配边界数据的 PSC 度量结合，保持正标量曲率。
• 利用 $\theta$-不变量来表征巴特尼克数据存在 PSC 填充的条件。
• 利用 $\mathbf{S}^{n-1}$ 上正标量曲率度量的同痕类，关联不同的边界度量。
• 应用缩放论证，将 PSC 填充从正数缩放的度量上转移过去。
• 依赖于存在一个 $\delta$-邻域，其具有扭曲积结构，以促进平滑粘合。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $\gamma$ 同痕于 $\mathbf{S}^{n-1}$ 上的标准度量时，三元组 $(\Sigma^{n-1}, \gamma, H)$ 在何种条件下可 admits 非负标量曲率的填充？
• RQ2 当 $\Sigma^{n-1} = \mathbf{S}^{n-1}$ 时，较大的点态平均曲率 $H$ 是否可排除 NNSC 填充的存在？
• RQ3 当 $\gamma$ 为正标量曲率度量且同痕于标准度量时，较大的总平均曲率 $\int_{\mathbf{S}^{n-1}} H\,d\mu_\gamma$ 是否可排除 NNSC 填充？
• RQ4 关于 $\theta$-不变量的何种条件可确保巴特尼克数据存在正标量曲率填充？
• RQ5 当 $\gamma_1$ 具有负平均曲率的 PSC 填充时，能否为同痕于 $\gamma_1$ 的度量 $\gamma_0$ 构造 PSC 填充？

主要发现

• 若 $H$ 在 $\mathbf{S}^{n-1}$ 上足够大，则当 $3 \leq n \leq 7$ 时，$(\mathbf{S}^{n-1}, \gamma, H)$ 不存在非负标量曲率填充。
• 若 $\gamma$ 是 $\mathbf{S}^{n-1}$ 上同痕于标准度量的正标量曲率度量，则较大的总平均曲率 $\int_{\mathbf{S}^{n-1}} H\,d\mu_\gamma$ 会排除 NNSC 填充，从而部分确认了格罗莫夫的猜想。
• 对于 $\mathbf{S}^{n-1}$ 上正标量曲率度量空间中同痕的 $\gamma_0$ 和 $\gamma_1$，若 $(\Sigma^{n-1}, \gamma_1, -H_1)$ 满足 $H_1 < \left(\frac{n-1}{n-2}\min R_{\gamma_1}\right)^{1/2}$，则 $(\Sigma^{n-1}, \gamma_0, H)$ 对所有满足 $H < \left(\frac{n-1}{n-2}\min R_{\gamma_0}\right)^{1/2}$ 的 $H$ 均存在 PSC 填充。
• 若 $(\Sigma^{n-1}, \gamma, -H)$ 存在 PSC 填充（$H > 0$ 为正常数），且满足 $R_\gamma > \frac{n-2}{n-1}H^2$，则 $(\Sigma^{n-1}, \gamma, 0)$ 也存在 PSC 填充。
• 利用具有扭曲积度量 $g = dr^2 + q(r)\gamma_1$ 的 $\delta$-邻域，构造了在边界截面上平滑粘合 PSC 度量。
• $\theta$-不变量为 PSC 填充的存在性提供了充分条件，将三维结果推广至更高维度。