[论文解读] On the Frey-Mazur conjecture over low genus curves

Benjamin Bakker, Jacob Tsimerman|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用 3

一句话总结

该论文在低亏格函数域上的伪椭圆曲线——即具有四元数乘法的阿贝尔曲面——的背景下，建立了弗雷-莫祖猜想的几何类比。通过分析模曲面 $ Z^D(p) $ 的几何性质，并利用曲面亏格的黎曼-海维茨界，证明了当 $ p $ 足够大时，若两个此类阿贝尔曲面具有同构的 $ p $-挠化伽罗瓦表示，则它们必为 $ \mathcal{O}_D $-同源，前提是基曲线的亏格小于某个固定常数 $ k $。

ABSTRACT

The Frey--Mazur conjecture states that an elliptic curve over $\mathbb{Q}$ is determined up to isogeny by its $p$-torsion Galois representation for $p\geq 17$. We study a geometric analog of this conjecture, and show that the map from isogeny classes of "fake elliptic curves"---abelian surfaces with quaternionic multiplication---to their $p$-torsion Galois representations is one-to-one over function fields of small genus complex curves for sufficiently large $p$ relative to the genus.

研究动机与目标

• 在函数域上阿贝尔曲面具有四元数乘法的背景下，建立弗雷-莫祖猜想的几何类比。
• 证明当 $ p $ 足够大时，$ p $-挠化伽罗瓦表示的同构性蕴含在低亏格曲线上 $ \mathcal{O}_D $-同源性。
• 分析模曲面 $ Z^D(p) $ 及其Hecke子簇的几何性质，以排除低亏格的非Hecke曲线。
• 通过黎曼-海维茨公式与CM点关联性，对 $ X^D(p) \times X^D(p) $ 中的曲线亏格进行界定，利用黄-陶与安德烈-德利涅的结果。
• 证明主定理中的常数 $ N $ 仅依赖于基曲线的有理映射度，从而推广先前结果。

提出的方法

• 将曲线 $ B \to Z^D(p) $ 提升为曲线 $ C \to X^D(p) \times X^D(p) $，其中 $ X^D(p) $ 参数化具有 $ \mathcal{O}_D $-作用与水平结构的阿贝尔曲面。
• 对投影 $ \pi: C \to X^D(p)_0 $ 应用黎曼-海维茨公式，以 canonical 除子 $ K_{X^D(p)_0 \times X^D(p)_0} $ 表达 $ g(C) $ 的下界。
• 利用非Hecke曲线的单值群在Zariski拓扑下的稠密性（由安德烈-德利涅给出），证明此类曲线必须具有高双次型，从而导致高亏格。
• 通过分析 $ X^D(p) \times X^D(p) \to Z^D(p) $ 在奇异点处的关联性，特别是Heegner与反Heegner CM点，来界定 $ C \to B $ 的分歧除子。
• 应用双曲度量估计，表明Heegner CM点在双曲度量下除靠近低次Hecke曲线外均分布良好，并利用黄-陶的体积界约束曲线的关联性。
• 结合来自投影的亏格下界与CM重数的上界，对大 $ p $ 推导出矛盾，从而证明所有此类曲线必位于Hecke子簇上。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于光滑拟射曲面复曲线 $ B $，其亏格 $ g < k $，当两个 $ \mathcal{O}_D $-模同构的 $ p $-挠化局部系统在 $ B $ 上的阿贝尔曲面上时，它们何时由 $ \mathcal{O}_D $-同源性诱导？
• RQ2 当 $ p \to \infty $ 时，不通过Hecke曲线的 $ X^D(p) \times X^D(p) $ 中的曲线的亏格的渐近行为如何？
• RQ3 CM点（Heegner与反Heegner）处高重数的关联性如何约束 $ Z^D(p) $ 的几何结构？
• RQ4 主定理中的常数 $ N $ 是否可仅依赖于 $ B $ 的有理映射度，而非其亏格？
• RQ5 用于紧致Shimura曲线的技术在非紧致或更高亏格情形下可推广到何种程度？

主要发现

• 对任意 $ k > 0 $，存在 $ N > 0 $，使得当 $ p > N $ 时，任意光滑曲线 $ B \to Z^D(p) $ 满足 $ g(B) < k $ 必须因子化通过某个Hecke子簇，从而证明主定理。
• 位于非Hecke曲线 $ B \to Z^D(p) $ 上方的曲线 $ C \subset X^D(p)_0 \times X^D(p)_0 $ 的亏格，其下界为 $ C \cdot K_{X^D(p)_0 \times X^D(p)_0} $ 的线性函数，而上界由于 $ \mathrm{mult}_{\mathrm{CM}}(C) = o(C \cdot K) $ 而渐近增长更慢。
• Heegner CM点在双曲度量下分布良好，除靠近低次Hecke曲线外，这使得可通过体积约束来限制曲线的关联性。
• 通过证明共轭Hecke曲线的类似体积界，克服了反Heegner CM点处无Hecke曲线存在的问题。
• 主定理中的常数 $ N $ 可取为仅依赖于 $ B $ 的有理映射度，如 [BT14] 技术扩展所示。
• 该结果在 $ \overline{\mathbb{F}}_\ell $ 上对足够大的 $ \ell $ 也成立，由标准的专门化论证可得。