[论文解读] On the Gauge Invariance of Scalar Induced Gravitational Waves: Gauge Fixings Considered

Zhe Chang, Sai Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2020

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 25被引用 15

一句话总结

本文通过引入一种规范不变的形式体系，解决了标量诱导引力波能量密度谱中的规范依赖性问题，该体系通过从一阶标量扰动导出的反项来减去虚假的张量扰动。研究表明，当施加规范不变性时，计算能量密度谱的关键核函数在牛顿规范和均匀密度规范下完全相同，消除了先前的发散，并确保了物理上一致的可观测量。

ABSTRACT

The energy density spectrum is an observable of gravitational waves. Divergence has appeared in the energy density spectra of the scalar induced gravitational waves for different gauge fixings. To resolve the discrepancy, we investigate the gauge invariance of the scalar induced gravitational waves. It is shown that the gauge invariant induced gravitational waves can be obtained by subtracting the fictitious tensor perturbations via introducing the counter term composed of the first order scalar perturbations. The kernel function uniquely determines the energy density spectrum of the scalar induced gravitational waves. We explicitly calculate the gauge invariant kernel functions in the Newtonian gauge and the uniform density gauge, respectively. The discrepancy between the energy density spectra upon the Newtonian gauge and the uniform density gauge is shown to be eliminated in the gauge invariant framework. In fact, the gauge invariant approach is also available to other kinds of gauge fixings.

研究动机与目标

• 解决由不同规范固定引起的标量诱导引力波能量密度谱长期存在的差异问题。
• 建立一个用于计算诱导引力波能量密度谱的规范不变框架。
• 证明核函数——决定能量密度谱的关键量——在正确反项应用下对规范变换保持不变。
• 表明均匀密度规范中（缩放为 η⁶）的发散是规范依赖性的产物，可通过规范不变形式体系消除。
• 将该方法推广至其他规范固定，并验证其在不同宇宙学时期的自洽性。

提出的方法

• 通过 $ H_{ij} = h_{ij} - \Lambda^{lm}_{ij} \mathcal{X}_{lm} $ 定义规范不变的二阶张量扰动 $ H_{ij} $，其中 $ \mathcal{X}_{lm} $ 由一阶标量扰动构造而成。
• 引入反项 $ \mathcal{X}_{lm} $ 以消除特定规范中出现的非物理张量分量，确保规范不变性。
• 在牛顿规范和均匀密度规范下，使用规范不变的 $ H_{ij} $ 显式计算核函数 $ I_H^2 $。
• 从规范不变的核函数 $ I_H^2 $ 导出能量密度谱，该函数唯一确定可观测谱。
• 比较不同规范下的核函数，表明尽管单个规范下存在发散，但在规范不变框架下实现收敛。
• 使用李导数方法保持规范不变构造的一致性，确保物理可观测性。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何标量诱导引力波的能量密度谱在不同规范固定（如牛顿规范和均匀密度规范）下表现出发散？
• RQ2 能否构建一个规范不变的形式体系，以消除诱导引力波能量密度谱中的非物理发散？
• RQ3 包含由一阶标量扰动导出的反项，如何恢复二阶张量扰动的规范不变性？
• RQ4 当规范不变性被正确实施时，决定能量密度谱的关键核函数在不同规范固定下是否产生相同结果？
• RQ5 该规范不变框架是否可推广至宇宙学微扰理论中常用的其他规范选择？

主要发现

• 当二阶张量扰动通过由一阶标量扰动导出的反项校正时，标量诱导引力波的能量密度谱是规范不变的。
• 当施加规范不变性时，决定能量密度谱的核函数 $ I_H^2 $ 在牛顿规范和均匀密度规范下完全相同。
• 通过规范不变形式体系，均匀密度规范中核函数的发散（缩放为 $ \eta^6 $）被消除，解决了先前的不一致性。
• 在牛顿规范中，反项为零，而在均匀密度规范中则非平凡，但两者最终均导出相同的规范不变核函数。
• 规范不变框架具有普适性，适用于其他规范固定，因为核函数在不同规范选择下保持不变。
• 最终的能量密度谱是明确定义且具有物理意义的，不存在非物理发散，证实了标量诱导引力波的可观测性。