[论文解读] On the geometry of some Equivariantly related manifolds

Llohann D. Sperança, Leonardo F. Cavenaghi|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 26被引用 5

一句话总结

本文通过等变主丛商构造提出了一种几何方法，用于将奇异流形（如奇异球面、Kervaire流形及球丛）表示为主丛的交叉图。通过在这些结构上应用切赫形变，作者在先前未被探索的紧致单连通流形新类上构造了具有正 Ricci 曲率和几乎非负截面曲率的新度量。

ABSTRACT

We provide a topological procedure to obtain geometric realizations of both classical and `exotic' $G$-manifolds, such as spheres, bundles over spheres and Kervaire manifolds. As an application, we apply the process known as Cheeger deformations to produce new metrics of both positive Ricci and almost non-negative curvature on such objects.

研究动机与目标

• 为实现奇异流形（包括奇异球面和 Kervaire 流形）提供统一的拓扑与几何框架，将其表示为标准主丛的等距商。
• 在新类的紧致单连通流形上建立具有正 Ricci 曲率和几乎非负截面曲率的度量存在的证明。
• 将已知的曲率性质结果推广至涉及奇异球面和球面上的球丛的连通和。
• 证明某些奇异商（如 $Σ P\mathbb{C}^{n}$ 和 $Σ P\mathbb{H}^{n/2}$）可赋予具有正 Ricci 曲率的不变度量。
• 表明通过切赫方法对对称丛结构进行等变形变时，此类正曲率度量的存在性得以保持。

提出的方法

• 构建一个 $G$-等变主丛 $P \to M$ 与 $P \to M'$ 的交叉图，其中 $M'$ 是通过群作用商构造的 $M$ 的奇异实现。
• 在全空间 $P$ 上应用切赫形变，生成保持主丛结构和 $G \times G$-不变性的度量族 $g_{P_t}$。
• 对 $M$ 和 $M'$ 上的子mersion 度量应用切赫形变，确保截面曲率差异被 $\epsilon \|X \wedge Y\|^2_{g_P}$ 所有界。
• 利用 $A$-张量与垂直曲率项在形变下的不变性，控制底流形上的 Ricci 曲率。
• 通过轨道张量 $\mathcal{P}_p$ 的特征值估计，表明垂直分量在形变下收缩，从而实现曲率控制。
• 通过切赫形变下水平 Ricci 曲率的不变性，建立 $M$ 与 $M'$ 之间正水平 Ricci 曲率的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过群作用商构造，将奇异流形（如同伦球面与 Kervaire 球面）几何地实现为标准丛的商？
• RQ2 切赫形变过程是否在奇异对称空间商上保持或生成具有正 Ricci 曲率的度量？
• RQ3 哪些类的连通和 $M^{n} \# \Sigma^{n}$ 允许具有正 Ricci 曲率和几乎非负截面曲率的度量？
• RQ4 奇异复射影平面 $\Sigma P\mathbb{C}^{n}$ 与 $\Sigma P\mathbb{H}^{n/2}$ 是否可赋予具有正 Ricci 曲率的不变度量？
• RQ5 在何种条件下，底流形 $M$ 上正 Ricci 曲率的存在性可推出其通过等变主丛构造得到的奇异商 $M'$ 上也具有正 Ricci 曲率？

主要发现

• 本文证明了在 $M^7 \# \Sigma^7$ 上存在具有正 Ricci 曲率和几乎非负截面曲率的度量，其中 $M^7$ 是任意一个在 $S^4$ 上的 3-球丛。
• 对于 $M^8 \# \Sigma^8$，当 $M^8$ 是在 $S^5$ 上的 3-球丛或在 $S^4$ 上的 4-球丛时，通过在等变丛上应用切赫形变，此类度量存在。
• 该构造在 $M^{10} \# \Sigma^{10}$ 上也产生了正 Ricci 曲率度量，包括 $M^{10}$ 为在 $S^7$ 上的 3-球丛、在 $S^5$ 上的 5-球丛或在 $S^4$ 上的 6-球丛的情形。
• 对于 $M^{4m+1} \# \Sigma^{4m+1}$，当 $M^{4m+1}$ 是在 $S^{2m+1}$ 上的球丛，且纤维代表单位酉切丛的倍数时，此类度量存在。
• $\Sigma P\mathbb{C}^{n}$ 与 $\Sigma P\mathbb{H}^{n/2}$ 的奇异商可赋予具有正 Ricci 曲率的 $G$-不变度量，此结果通过控制水平 Ricci 曲率得以证明。
• 切赫形变过程确保：对任意 $\epsilon > 0$，存在 $t > 0$，使得 $M$ 与 $M'$ 之间的截面曲率差异被 $\epsilon \|X \wedge Y\|^2_{g_P}$ 所有界，从而在极限下实现几乎非负曲率。