[论文解读] On the geometry of the compactification of the universal Picard variety

Claudio Fontanari|ArXiv.org|Feb 18, 2002

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用 5

一句话总结

本文研究了通过Caporaso的几何不变量理论构造的紧化通用Picard簇 $\overline{P}_{d,g}$ 的几何结构。它建立了Cornalba的自旋曲线模空间 $\overline{S}_g$ 到 $\overline{P}_{d,g}$ 的自然单射态射，并完整描述了 $\overline{P}_{d,g}$ 的有理除子类群，表明其由典范线丛 $\mathcal{L}_{d,g}$、Hodge类的拉回 $\phi_d^*(\lambda)$ 以及边界除子 $\mathcal{D}_i$ 生成，在特定条件下无非平凡关系。

ABSTRACT

Here we focus on the geometry of $\pdgbar$, the compactification of the universal Picard variety constructed by L. Caporaso. In particular, we show that the moduli space of spin curves constructed by M. Cornalba naturally injects into $\pdgbar$ and we give generators and relations of the rational divisor class group of $\pdgbar$, extending previous work by A. Kouvidakis.

研究动机与目标

• 研究通过Caporaso的几何不变量理论构造的紧化通用Picard簇 $\overline{P}_{d,g}$ 的几何结构。
• 探究 $\overline{P}_{d,g}$ 与自旋曲线模空间 $\overline{S}_g$ 之间的关系，特别是 $\overline{S}_g$ 是否自然嵌入 $\overline{P}_{d,g}$ 中。
• 计算 $\overline{P}_{d,g}$ 的有理除子类群，扩展Kouvidakis对非紧化 $P_{d,g}$ 的Picard群的工作。
• 确定有理Picard群由显式类自由生成的条件。

提出的方法

• 利用 $\overline{P}_{d,g}$ 的几何不变量理论构造，分析其边界分量及其余维数。
• 通过为每个自旋曲线关联一个在拟稳定曲线上的度数为 $d$ 的线丛，建立从 $\overline{S}_g$ 到 $\overline{P}_{d,g}$ 的自然态射。
• 利用Kouvidakis已确立的 $P_{d,g}$ 的Picard群，推导出 $\overline{P}_{d,g}$ 的有理除子类群的生成元。
• 应用Arbarello与Cornalba的曲线族的提升论证，证明除子类群中无非平凡关系。
• 利用 $\overline{P}_{d,g}$ 是几何商且在互素条件 $(d-g+1,2g-2)=1$ 下具有有限商奇点的事实，将Weil除子与Cartier除子关联起来。
• 证明有理查默群上拉回映射 $\phi_d^*$ 的单射性，以确立生成元的线性无关性。

实验结果

研究问题

• RQ1 自旋曲线模空间 $\overline{S}_g$ 是否自然嵌入紧化通用Picard簇 $\overline{P}_{d,g}$ 中？
• RQ2 $\overline{P}_{d,g}$ 的有理除子类群的生成元是什么？它们之间存在何种关系？
• RQ3 在何种条件下，$\overline{P}_{d,g}$ 的有理Picard群由显式类自由生成？
• RQ4 $\overline{P}_{d,g}$ 的有理除子类群如何与 $\overline{\mathcal{M}}_g$ 上的典范类相关？

主要发现

• 存在从自旋曲线模空间 $\overline{S}_g$ 到紧化通用Picard簇 $\overline{P}_{d,g}$ 的自然单射态射，建立了两空间之间的精确几何联系。
• $\overline{P}_{d,g}$ 的有理除子类群由典范线丛 $\mathcal{L}_{d,g}$、Hodge类的拉回 $\phi_d^*(\lambda)$ 以及边界除子 $\mathcal{D}_i$（$i=0,\ldots,\lfloor g/2\rfloor$）生成。
• 当 $g \geq 4$ 时，有理除子类群由这些类生成，且关系平凡，即它们之间不存在非平凡线性关系。
• 当 $g=3$ 时，$\mathcal{M}_3$ 中的双曲几何轨迹 $H$ 满足 $[H] = 18\lambda$，因此 $[\phi_d^{-1}(H)] = 18\phi_d^*(\lambda)$，与生成元集合一致。
• 当 $d \geq 20(g-1)$ 且 $(d-g+1,2g-2)=1$ 时，拉回映射 $\phi_d^*:\mathrm{Pic}(\overline{\mathcal{M}}_g) \otimes \mathbb{Q} \to \mathrm{Pic}(\overline{P}_{d,g}) \otimes \mathbb{Q}$ 是单射，确保生成元线性无关。
• 在互素条件 $(d-g+1,2g-2)=1$ 下，$\overline{P}_{d,g}$ 的有理Picard群由 $\mathcal{L}_{d,g}$、$\phi_d^*(\lambda)$ 以及 $\mathcal{D}_i$ 类自由生成。