[论文解读] On the geometry of the connection with totally skew-symmetric torsion on almost complex manifolds with Norden metric

Dimitar Mekerov|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2009

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 7被引用 6

一句话总结

本文研究了在赋予Norden度量的几乎复流形上，具有完全反对称扭量的唯一线性联络，证明了在非凯勒流形上该联络的存在与唯一性等价于拟凯勒结构。主要贡献在于确立了此类联络存在的充要条件为流形为拟凯勒型，并推导出联络与曲率张量的显式公式，表明平行扭量与凯勒曲率张量共同蕴含各向同性凯勒结构。

ABSTRACT

We consider an almost complex manifold with Norden metric (i. e. a metric with respect to which the almost complex structure is an anti-isometry). On such a manifold we study a linear connection preserving the almost complex structure and the metric and having a totally skew symmetric torsion tensor (i. e. a 3-form). We prove that if a non-Kaehler almost complex manifold with Norden metric admits such connection then the manifold is quasi-Kaehlerian (i. e. has non-integrable almost complex structure). We prove that this connection is unique, determine its form, and construct an example of it on a Lie group. We consider the case when the manifold admits a connection with parallel totally skew-symmetric torsion and the case when such connection has a Kaehler curvature tensor. We get necessary and sufficient conditions for an isotropic Kaehler manifold with Norden metric.

研究动机与目标

• 建立在赋予Norden度量的几乎复流形上，具有完全反对称扭量的线性联络的存在性与唯一性。
• 刻画此类联络存在的几何条件，特别是在非凯勒情形下的条件。
• 确定联络及其曲率张量的形式，特别是当扭量平行或曲率为凯勒型时的情形。
• 以数量曲率与曲率张量为依据，确定流形为各向同性凯勒型的必要与充分条件。

提出的方法

• 构造一个保持几乎复结构J与Norden度量g的线性联络∇′，其扭量张量T为一个3-形式（完全反对称）。
• 通过变换张量Q，推导出联络∇′的显式形式，其与Levi-Civita联络∇及通过∇J表示的Nijenhuis张量相关联。
• 利用曲率公式 R′(x,y,z,w) = R(x,y,z,w) + 2g(Q(x,y),Q(z,w)) − g(Q(x,z),Q(y,w)) + g(Q(y,z),Q(x,w)) 分析曲率性质。
• 应用第一Bianchi恒等式，确定R′为凯勒张量的条件，导出条件 ∑S g(Q(x,y),Q(z,w)) = 0。
• 利用范数 ||∇J||² 定义各向同性凯勒流形，并关联∇与∇′的数量曲率。
• 通过李群构造一个四参数族四维拟凯勒流形，为该联络提供具体实例。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，一个非凯勒的几乎复流形（赋予Norden度量）会允许存在一个保持J与g的线性联络，且其扭量为完全反对称？
• RQ2 此类联络的显式形式为何？其是否唯一？
• RQ3 当该联络的扭量保持平行时，其对几何结构施加了何种约束？
• RQ4 当该联络的曲率张量为凯勒型时，其对底流形意味着什么？
• RQ5 Levi-Civita联络与新联络的数量曲率之间存在何种关系？在何种条件下二者相等？

主要发现

• 一个非凯勒的几乎复流形（赋予Norden度量）存在具有完全反对称扭量的线性联络，当且仅当其为拟凯勒型。
• 联络∇′是唯一的，其形式可显式用Levi-Civita联络与张量∇J表示。
• 联络∇′具有凯勒曲率张量，当且仅当循环和 ∑S g(Q(x,y),Q(z,w)) = 0 成立。
• 若∇′同时具有平行扭量与凯勒曲率张量，则流形为各向同性凯勒型，即 ||∇J||² = 0。
• ∇与∇′的数量曲率相等，当且仅当流形为各向同性凯勒型。
• 在李群上构造了一个四参数族四维拟凯勒流形（赋予Norden度量），并为该族显式计算了∇′。