[论文解读] On the Group of Almost-Riordan Arrays

Paul Barry|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2016

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 9被引用 5

一句话总结

本文引入了几乎-Riordan数组——由形式幂级数三元组定义的矩阵——作为经典Riordan群的超群。它识别出一个正规子群，其陪集对应于Riordan数组，并证明某些几乎-Riordan数组诱导的变换具有显著的Hankel变换性质，特别是针对与Catalan和Fibonacci多项式相关的序列。

ABSTRACT

We study a super group of the group of Riordan arrays, where the elements of the group are given by a triple of power series. We show that certain subsets are subgroups, and we identify a normal subgroup whose cosets correspond to Riordan arrays. We give an example of an almost-Riordan array that has been studied in the context of Hankel and Hankel plus Toepliz matrices, and we show that suitably chosen almost-Riordan arrays can lead to transformations that have interesting Hankel transform properties.

研究动机与目标

• 通过引入由三元形式幂级数定义的更广泛矩阵类，扩展Riordan数组的理论。
• 在几乎-Riordan群中识别出一个正规子群，使得商群同构于经典Riordan群。
• 探索几乎-Riordan数组对序列的变换性质，特别是具有组合意义的序列。
• 研究这些变换下图像序列的Hankel变换行为，特别是与Catalan和Fibonacci多项式相关的序列。
• 建立几乎-Riordan数组、Hankel行列式与正交多项式或类似切比雪夫结构之间的联系。

提出的方法

• 通过具有整数系数的三元形式幂级数 $(g(x), f(x), h(x))$ 定义几乎-Riordan数组，推广标准的Riordan对 $(g(x), f(x))$。
• 为新类建立群运算（乘积与逆），证明其在矩阵乘法下满足封闭性与可逆性。
• 使用级数反演 $ar{f}(x)$ 表达几乎-Riordan数组的逆，扩展标准Riordan逆公式。
• 应用Riordan数组的基本定理，定义几乎-Riordan数组对生成函数的作用：$(g,f,h) \bullet a(x) = g(x) \bullet a(f(x))$。
• 分析生成矩阵及其在刻画几乎-Riordan数组结构中的作用，特别是通过关系式 $P = A_P^{-1} \bar{I} A_P$。
• 利用生成函数的系数数组计算图像序列的Hankel变换，识别模式并推测其有理生成函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将Riordan群嵌入为由三元形式幂级数定义的下三角矩阵更大群中的商群？
• RQ2 几乎-Riordan数组群的代数结构是什么？它是否包含一个正规子群，使得其商群同构于经典Riordan群？
• RQ3 哪些几乎-Riordan数组会产生Hankel变换呈现简单或周期性模式的图像序列？
• RQ4 能否用有理生成函数表达由几乎-Riordan数组变换后的序列的Hankel变换？其结构如何？
• RQ5 Hankel变换生成函数的系数数组与已知组合数组（如与切比雪夫多项式相关的数组）之间存在何种联系？

主要发现

• 几乎-Riordan数组群是经典Riordan群的超群，且Riordan群同构于几乎-Riordan群关于某一特定正规子群的商群。
• 几乎-Riordan数组 $(2 - c(x), c(x), x c(x))$ 生成的矩阵作用于移位的Fibonacci多项式时，产生一个序列，其Hankel变换的生成函数具有涉及 $y$ 和 $x$ 的有理形式。
• 在特定几乎-Riordan数组作用下，图像序列 $b_n(y)$ 的Hankel变换被证明为：当 $y=1$ 时为 $(-1)^n$（Jacobsthal数列），当 $y=2$ 时为 $(-2)^n$（Fibonacci数列），表明其具有周期性与指数行为。
• 当Hankel变换生成函数的系数数组左乘二项式矩阵 $B$ 后，结果中嵌入了 $B^2$ 的幂，暗示更深层的代数结构。
• 变换后的系数数组显示出与已知切比雪夫多项式第四类（OEIS A228565 与 A180870）相关的反向列模式。
• 为几乎-Riordan数组作用于 $F_{n+1}(y)$ 生成的序列的Hankel变换，提出了一个有理生成函数的猜想，其分子与分母明确以 $x$ 和 $y$ 表示。