[论文解读] On the Hamilton-Waterloo Problem with odd orders

Andrea C. Burgess, Peter Danziger+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 23, 2015

graph theory and CDMA systems参考文献 21被引用 5

一句话总结

本文通过证明：对于任意奇数 $m$ 和 $n$，当 $v$ 是 $mn$ 的倍数且 $v > mn$ 时，$K_v$ 存在 $C_m$-因子分解和 $C_n$-因子分解，从而解决了奇数长度圈的哈密顿-沃特尔问题，仅存在有限多个例外情况。关键结果表明，在这些约束条件下，必要条件是充分的，其中 $(m,n,\beta)$ 情况下仅有五个额外可能的例外，$v=mn$ 情况下有七个。

ABSTRACT

Given non-negative integers $v, m, n, α, β$, the Hamilton-Waterloo problem asks for a factorization of the complete graph $K_v$ into $α$ $C_m$-factors and $β$ $C_n$-factors. Clearly, $v$ odd, $n,m\geq 3$, $m\mid v$, $n\mid v$ and $α+β= (v-1)/2$ are necessary conditions. To date results have only been found for specific values of $m$ and $n$. In this paper we show that for any $m$ and $n$ the necessary conditions are sufficient when $v$ is a multiple of $mn$ and $v>mn$, except possibly when $β=1$ or 3, with five additional possible exceptions in $(m,n,β)$. For the case where $v=mn$ we show sufficiency when $β> (n+5)/2$ except possibly when $(m,α) = (3,2)$, $(3,4)$, with seven further possible exceptions in $(m,n,α,β)$. We also show that when $n\geq m\geq 3$ are odd integers, the lexicographic product of $C_m$ with the empty graph of order $n$ has a factorization into $α$ $C_m$-factors and $β$ $C_n$-factors for every $0\leq α\leq n$, $β= n-α$, except possibly when $α= 2,4$, $β= 1, 3$, with three additional possible exceptions in $(m,n,α)$.

研究动机与目标

• 解决当 $v$ 是 $mn$ 的倍数且 $v > mn$ 时，奇数长度圈 $C_m$ 和 $C_n$ 的哈密顿-沃特尔问题。
• 确定 $K_v$ 在何种条件下可分解为 $\alpha$ 个 $C_m$-因子和 $\beta$ 个 $C_n$-因子（$m,n$ 为奇数）。
• 扩展先前结果，表明在除有限多个例外情况外，必要条件是充分的。
• 分析 $v = mn$ 的情况，并在 $\beta > (n+5)/2$ 时建立充分性，但需排除特定的小值 $\alpha$。

提出的方法

• 利用字典积 $C_m[n]$，作者基于已知的 $K_t[n]$ 上的 $C_m$-因子分解结果构建因子分解。
• 应用定理 1.4 于 $K_t[n]$ 上的 $C_m$-因子分解，建立字典积中圈因子存在的条件。
• 基于瓦莱基方法的递归与归纳构造，作者在 $K_v$ 中构建 $C_m$ 和 $C_n$ 因子。
• 对 $\alpha$ 和 $\beta$ 进行案例分析，证明当 $v = mn$ 且 $\beta > (n+5)/2$ 时的充分性，但需排除特定的小值 $\alpha$。
• 分析 $C_m[n]$ 及其 2-因子分解的结构，推导出 $C_m$-因子与 $C_n$-因子在 $K_v$ 中共存的条件。
• 应用已知的欧伯沃尔夫赫夫问题及广义欧伯沃尔夫赫夫问题结果，将哈密顿-沃特尔问题简化为已知的圈分解定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些奇数 $m$ 和 $n$，当 $v$ 是 $mn$ 的倍数且 $v > mn$ 时，哈密顿-沃特尔问题 $\mathrm{HW}(v;m,n;\alpha,\beta)$ 有解？
• RQ2 当 $v = mn$ 时，$C_m$-因子分解与 $C_n$-因子分解在 $K_v$ 中存在的必要与充分条件是什么？
• RQ3 当 $v$ 是 $mn$ 的倍数时，是否可以证明哈密顿-沃特尔问题的必要条件对除有限多个例外情况外均充分？
• RQ4 当 $\beta$ 较小时（如 $\beta = 1$ 或 $3$），$\alpha$ 和 $\beta$ 的取值如何影响解的存在性？
• RQ5 字典积 $C_m[n]$ 在构造奇数长度圈哈密顿-沃特尔问题解的过程中起什么作用？

主要发现

• 当 $v$ 是 $mn$ 的倍数且 $v > mn$ 时，$\mathrm{HW}(v;m,n;\alpha,\beta)$ 存在的必要条件是充分的，仅当 $\beta = 1$ 或 $3$ 时可能存在例外，且在 $(m,n,\beta)$ 情况下仅有五个额外可能的例外。
• 当 $v = mn$ 时，若 $\beta > (n+5)/2$，则必要条件是充分的，但可能在 $(m,\alpha) = (3,2)$ 或 $(3,4)$ 时例外，且在 $(m,n,\alpha,\beta)$ 情况下另有七个可能的例外。
• 字典积 $C_m[n]$ 对所有 $0 \leq \alpha \leq n$，$\beta = n - \alpha$ 均可分解为 $\alpha$ 个 $C_m$-因子和 $\beta$ 个 $C_n$-因子，仅当 $\alpha = 2,4$ 且 $\beta = 1,3$ 时可能存在例外，且在 $(m,n,\alpha)$ 情况下另有三个可能的例外。
• 本文证明了当 $v$ 是 $mn$ 的倍数且 $v > mn$ 时，对所有奇数 $m,n$，$K_v$ 存在 $C_m$-因子分解与 $C_n$-因子分解，且满足所述条件。
• 作者建立了当 $v = mn$ 且 $\beta > (n+5)/2$ 时，对所有奇数 $m,n$，哈密顿-沃特尔问题均可解，仅对指定的例外情况除外。
• 本研究通过在 $v$ 的广泛条件下为奇数长度圈提供一般解，扩展了先前关于欧伯沃尔夫赫夫问题与哈密顿-沃特尔问题的研究。