[论文解读] On the hardness of computing an average curve

Kevin Buchin, Anne Driemel+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2019

Data Management and Algorithms参考文献 20被引用 9

一句话总结

本文證明了在離散與連續 Fréchet 距離及動態時間規範化（DTW）下，計算 1-中位數（平均曲線）的 NP-困難性與 W[1]-困難性，從而確立了曲線聚類中基於中心的聚類問題的根本計算難度。此外，本文針對離散 Fréchet 距離下的 $(k,\ell)$-中位數與 $(k,\ell)$-中心問題，提出了多項式時間的 $(1+\varepsilon)$-近似演算法，並在 $k,\ell$ 固定時，為 $(k,\ell)$-中心問題提供了精確演算法。

ABSTRACT

We study the complexity of clustering curves under $k$-median and $k$-center objectives in the metric space of the Fréchet distance and related distance measures. Building upon recent hardness results for the minimum-enclosing-ball problem under the Fréchet distance, we show that also the $1$-median problem is NP-hard. Furthermore, we show that the $1$-median problem is W[1]-hard with the number of curves as parameter. We show this under the discrete and continuous Fréchet and Dynamic Time Warping (DTW) distance. This yields an independent proof of an earlier result by Bulteau et al. from 2018 for a variant of DTW that uses squared distances, where the new proof is both simpler and more general. On the positive side, we give approximation algorithms for problem variants where the center curve may have complexity at most $\ell$ under the discrete Fréchet distance. In particular, for fixed $k,\ell$ and $\varepsilon$, we give $(1+\varepsilon)$-approximation algorithms for the $(k,\ell)$-median and $(k,\ell)$-center objectives and a polynomial-time exact algorithm for the $(k,\ell)$-center objective.

研究动机与目标

• 在離散與連續 Fréchet 距離及 DTW 下，確立計算多邊形曲線 1-中位數（平均曲線）的計算複雜度。
• 探討當以輸入曲線數量為參數時，1-中位數問題是否為固定參數可適性問題。
• 針對中心複雜度有界於 $\ell$ 的曲線聚類，發展高效近似演算法，特別是針對 $(k,\ell)$-中位數與 $(k,\ell)$-中心目標。
• 探討在 DTW 與連續 Fréchet 距離下，1-中位數問題是否可能實現常數因子近似，考慮其缺乏度量性質的特性。

提出的方法

• 透過將 Fréchet 距離下的最小包覆球問題歸約至 1-中位數問題，以證明 NP-困難性。
• 運用參數化複雜度技術，證明在離散與連續 Fréchet 及 DTW 距離下，以曲線數量 $m$ 為參數時，1-中位數問題為 W[1]-困難。
• 提出針對離散 Fréchet 距離下 $(k,\ell)$-中位數與 $(k,\ell)$-中心問題的 $(1+\varepsilon)$-近似演算法，方法為在有界候選中心曲線集合中進行搜尋。
• 使用決策演算法，測試所有可能的 $k$ 個中心曲線組合，每個中心曲線最多有 $\ell$ 個頂點，且位於輸入曲線頂點周圍的有界區域內。
• 對 $O((mn)^3)$ 個關鍵半徑值進行二分搜尋，以找出 $(k,\ell)$-中心問題的最優 $r$，並利用圓盤交集區域的拓撲變化特性。
• 依賴由曲線頂點周圍圓盤邊界所形成的平面圖形幾何構造，以枚舉最大交集區域與候選中心。

实验结果

研究问题

• RQ1 在離散 Fréchet 距離下，多邊形曲線的 1-中位數問題是否為 NP-困難？
• RQ2 在離散與連續 Fréchet 及 DTW 距離下，當以輸入曲線數量 $m$ 為參數時，1-中位數問題是否為 W[1]-困難？
• RQ3 能否針對離散 Fréchet 距離下固定 $k$、$\ell$ 與 $\varepsilon$ 的 $(k,\ell)$-中位數與 $(k,\ell)$-中心問題設計 $(1+\varepsilon)$-近似演算法？
• RQ4 在 DTW 與連續 Fréchet 距離下，1-中位數問題的近似門檻為何？考慮其缺乏度量性質的特性。
• RQ5 能否將離散 Fréchet 距離下 $(k,\ell)$-中心問題的精確演算法擴展至 DTW 或連續 Fréchet 條件？

主要发现

• 在離散與連續 Fréchet 距離及 DTW（使用各種範數）下，1-中位數問題均為 NP-困難。
• 在離散與連續 Fréchet 及 DTW 距離下，以輸入曲線數量 $m$ 為參數時，1-中位數問題為 W[1]-困難。
• 對於固定的 $k$、$\ell$ 與 $\varepsilon > 0$，在離散 Fréchet 距離下，$(k,\ell)$-中位數與 $(k,\ell)$-中心問題存在多項式時間的 $(1+\varepsilon)$-近似演算法。
• 當 $k$ 與 $\ell$ 固定時，在 2D 平面中，離散 Fréchet 距離下的 $(k,\ell)$-中心問題存在精確的多項式時間演算法。
• 在 DTW 下，1-中位數問題的近似因子下界為 $1 + \Omega(1/m)$，表示常數因子近似極不可能。
• 由於 DTW 缺乏度量性質，基於曲線頂點周圍圓盤的幾何搜尋方法失效；同樣地，對於連續 Fréchet 距離，低距離曲線缺乏頂點接近性，導致該方法亦不適用。