[论文解读] On the Hardness of Welfare Maximization in Combinatorial Auctions with Submodular Valuations

Shahar Dobzinski, J. Vondrák|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2012

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文首次确立了具有次模估值的组合拍卖中福利最大化的常数因子近似下限，证明在通信和计算模型下，任何算法都无法实现优于 (1 − 1/(2e) + ε) 的近似比。作者引入了多峰次模函数，构造了用于证明该极限的困难实例，即使在常数大小的估值和需求预言机模型下，该极限依然成立。

ABSTRACT

We present a new type of monotone submodular functions: \emph{multi-peak submodular functions}. Roughly speaking, given a family of sets $\cF$, we construct a monotone submodular function $f$ with a high value $f(S)$ for every set $S \in {\cF}$ (a "peak"), and a low value on every set that does not intersect significantly any set in $\cF$. We use this construction to show that a better than $(1-\frac{1}{2e})$-approximation ($\simeq 0.816$) for welfare maximization in combinatorial auctions with submodular valuations is (1) impossible in the communication model, (2) NP-hard in the computational model where valuations are given explicitly. Establishing a constant approximation hardness for this problem in the communication model was a long-standing open question. The valuations we construct for the hardness result in the computational model depend only on a constant number of items, and hence the result holds even if the players can answer arbitrary queries about their valuation, including demand queries. We also study two other related problems that received some attention recently: max-min allocation (for which we also get hardness of $(1-\frac 1 {2e}+ε)$-approximation, in both models), and combinatorial public projects (for which we prove hardness of $(3/4+ε)$-approximation in the communication model, and hardness of $(1 -\frac 1 e+ε)$-approximation in the computational model, using constant size valuations).

研究动机与目标

• 解决关于次模福利最大化的通信复杂度下限的长期悬而未决问题。
• 建立常数大小次模估值下 (1−1/(2e)+ε) 近似比的 NP-难问题。
• 将该下限结果扩展到相关问题，如最大最小分配和组合公共项目。
• 证明该下限在所有合理的预言机模型（包括需求预言机）下均成立。
• 引入一种新型的多峰次模函数构造方法，作为证明常数因子近似不可行性的关键技术工具。

提出的方法

• 引入多峰次模函数，使其在某一族集合 F 上取高值，而在其他地方取低值。
• 通过从 Feige 的 Max k-cover 近似不可行性结果进行归约，构造组合拍卖中的次模估值。
• 基于 Feige 的 Max k-cover 实例的结构，构造具有均匀集合大小和有界交集的常数大小次模估值。
• 应用多峰函数构造方法，生成每个参与者的估值在特定一组捆绑包上达到峰值的估值函数。
• 证明任何 (1−1/(2e)+ε) 近似比都将导致计算模型中 P=NP，且在通信模型中需要指数级通信量。
• 通过类似构造和归约，将该下限结果扩展到最大最小分配和组合公共项目问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 在通信模型中，能否实现次模福利最大化的 (1−1/(2e)+ε) 近似？
• RQ2 对于常数大小的次模估值，是否能在多项式时间内实现 (1−1/(2e)+ε) 近似？
• RQ3 该下限结果是否可扩展到其他问题，如最大最小分配和组合公共项目？
• RQ4 是否可在所有合理的预言机模型（包括需求预言机）下证明该近似不可行性阈值？
• RQ5 为证明次模组合拍卖中常数因子近似不可行性，需要哪些新的结构性工具？

主要发现

• 次模福利最大化的 (1−1/(2e)+ε) 近似比需要指数级通信量，从而解决了长期悬而未决的开放问题。
• 对于常数大小的次模估值，实现 (1−1/(2e)+ε) 近似比将意味着 P=NP。
• 由于需求预言机可在通信模型中模拟且在常数时间内实现，该下限结果在所有合理的预言机模型下均成立。
• 相同构造在两种模型下均能导出最大最小分配问题的 (1−1/(2e)+ε) 硬度。
• 在通信模型中，(3/4+ε) 近似是困难的；在计算模型中，组合公共项目问题的 (1−1/e+ε) 近似也是困难的。
• 本文首次引入多峰次模函数作为新颖的技术工具，使该设定下首次实现常数因子近似不可行性的证明成为可能。