[论文解读] On the Hausdorff dimension of some sets of numbers defined through the digits of their $Q$-Cantor series expansions

Dylan Airey, Bill Mance|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 11被引用 4

一句话总结

本文计算了在 $Q$-Cantor 级数展开中由各种正规性性质定义的差集的 Hausdorff 维数，表明对于在极限下无限且完全发散的基本序列 $Q$，所有非平凡此类集合的 Hausdorff 维数均为 1（即满维数），但 $scr{N}(Q)\setminus\u001cscr{DN}(Q)$ 在更强条件下也具有满维数。结果将经典正规数理论推广至广义 Cantor 级数展开，并采用测度论方法。

ABSTRACT

Following in the footsteps of P. Erdős and A. Rényi we compute the Hausdorff dimension of sets of numbers whose digits with respect to their $Q$-Cantor series expansions satisfy various statistical properties. In particular, we consider difference sets associated with various notions of normality and sets of numbers with a prescribed range of digits.

研究动机与目标

• 确定满足特定统计性质的 $Q$-Cantor 级数数字的实数集合的 Hausdorff 维数。
• 将关于基数 $b$ 展开中正规数的经典结果推广至更一般的 $Q$-Cantor 级数展开设置。
• 解决关于 $Q$-正规、$Q$-比值正规与 $Q$-分布正规集合之间差集维数的开放问题。
• 建立 $\mathscr{N}(Q)\setminus\mathscr{DN}(Q)$ 具有满 Hausdorff 维数的条件，尽管其不具有满测度。

提出的方法

• 使用 $Q$-Cantor 级数展开的框架，其中 $Q = (q_n)$ 是满足 $q_n \geq 2$ 的基本序列，以推广基数 $b$ 展开。
• 通过长度为 $k$ 的数字块在展开中的渐近均匀分布来定义 $Q$-正规性（第 $k$ 阶）。
• 应用度量数论与分形几何的技术，特别是通过构造齐次 Moran 集来从下方估计 Hausdorff 维数。
• 利用涉及 $Q_n^{(k)} = \sum_{j=1}^n \frac{1}{q_j q_{j+1} \cdots q_{j+k-1}}$ 的极限论证，分析数字块的频率。
• 通过使用稀疏指标集，构造 $\mathscr{W}_Q(S)$（即在 $Q$-展开中数字属于固定集合 $S$ 的数的集合）的显式子集，以控制维数。
• 使用公式 $\dim_H(C) \geq \liminf_{k\to\infty} \frac{\log(n_1 \cdots n_k)}{-\log(c_1 \cdots c_{k+1} n_{k+1})}$ 来估计所构造 Moran 集的维数。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于在极限下无限且完全发散的基本序列 $Q$，集合 $\mathscr{N}(Q) \setminus \mathscr{DN}(Q)$ 的 Hausdorff 维数是多少？
• RQ2 当 $Q$ 在极限下无限且完全发散时，由 $\mathscr{N}(Q)$、$\mathscr{RN}(Q)$ 和 $\mathscr{DN}(Q)$ 形成的所有非平凡差集是否都具有满 Hausdorff 维数？
• RQ3 能否将 $\mathscr{N}(Q) \setminus \mathscr{DN}(Q)$ 的满维数结果推广至所有此类 $Q$，还是仅能推广至受限子类？
• RQ4 何种 $Q$ 的条件可确保 $\bigcap_{j=\ell}^\infty \mathscr{N}_j(Q) \setminus \bigcup_{j=1}^{\ell-1} \mathscr{N}_j(Q)$ 具有满 Hausdorff 维数？
• RQ5 是否存在类似于经典理论中 Schmidt 条件的 $\mathscr{DN}(Q) \setminus \mathscr{N}(Q)$ 等集合满 Hausdorff 维数的充要条件？

主要发现

• 对于所有在极限下无限且完全发散的基本序列 $Q$，由 $\mathscr{N}(Q)$、$\mathscr{RN}(Q)$ 和 $\mathscr{DN}(Q)$ 形成的所有非平凡差集均具有 Hausdorff 维数 1。
• 当 $Q$ 满足额外增长条件（包括 $k \geq \ell$ 的 $k$-发散性及 $q_n$ 的特定渐近行为）时，集合 $\mathscr{N}(Q) \setminus \mathscr{DN}(Q)$ 具有满 Hausdorff 维数（即维数为 1）。
• 集合 $\mathscr{W}_Q(S)$（即其数字属于固定集合 $S \subset \mathbb{N}_0$ 的数）的 Hausdorff 维数为 $\gamma = \lim_{k\to\infty} \frac{\log \#(S \cap \{0, \dots, q_k - 2\})}{\log q_k}$，前提是 $Q$ 在极限下无限。
• 通过构造一个与 $\gamma$ 匹配维数的齐次 Moran 集，证明了 $\dim_H(\mathscr{W}_Q(S))$ 的下界，而上界则由其包含于可控集合中得出。
• 本文表明，对于在极限下无限且完全发散的 $Q$，有 $\dim_H(\mathscr{DN}(Q) \setminus \mathscr{N}(Q)) = 1$ 且 $\dim_H(\mathscr{DN}(Q) \setminus \mathscr{RN}(Q)) = 1$，证实了这些差集具有满维数。
• 结果推广了早期发现，表明满维数在各种正规性概念的组合下具有鲁棒性，即使这些集合不具有满 Lebesgue 测度。