[论文解读] On the Hedging of Options On Exploding Exchange Rates

Peter Carr, Travis C. Fisher+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 38被引用 4

一句话总结

该论文提出了一种针对遵循严格局部鞅动态（通常与恶性通货膨胀风险相关）的汇率期权的新颖定价算子，通过使用以欧元和美元为计价单位的双重对冲成本（numéraire measures）实现。该方法通过确保在两种货币下复制或有头寸的最小成本一致，恢复了看跌-看涨期权平价关系与国际看跌-看涨期权等价性，即使汇率不具有鞅性质。

ABSTRACT

We study a novel pricing operator for complete, local martingale models. The new pricing operator guarantees put-call parity to hold for model prices and the value of a forward contract to match the buy-and-hold strategy, even if the underlying follows strict local martingale dynamics. More precisely, we discuss a change of numéraire (change of currency) technique when the underlying is only a local martingale modelling for example an exchange rate. The new pricing operator assigns prices to contingent claims according to the minimal cost for superreplication strategies that succeed with probability one for both currencies as numéraire. Within this context, we interpret the lack of the martingale property of an exchange-rate as a reflection of the possibility that the numéraire currency may devalue completely against the asset currency (hyperinflation).

研究动机与目标

• 解决在汇率遵循严格局部鞅的模型中看跌-看涨期权平价关系与国际看跌-看涨期权等价性失效的问题。
• 为单一货币可能完全贬值（即恶性通货膨胀）的市场中期权定价提供基于对冲的严谨解释。
• 基于在本币与外币度量下对或有头寸进行最小超对冲成本，构建一个定价算子。
• 将随机分析与测度论扩展至处理当新计价单位可能消失（如因恶性通货膨胀）时的计价单位变更问题。
• 建立联合超对冲可行的条件，并证明最小成本与所提出的定价算子一致。

提出的方法

• 引入双计价单位框架，即使汇率是严格局部鞅，也使用本币与外币作为对冲工具。
• 将新定价算子定义为在本币与外币风险中性测度下均以概率1成功的联合超对冲策略的最小成本。
• 应用Föllmer测度构造方法于非负局部鞅，将其扩展至计价单位可能消失的情形，从而支持测度变换技术。
• 通过局部化论证与随机分析，证明在适当的可积性条件下，新测度下的变换过程仍为局部鞅。
• 通过保持两种计价单位下动态一致的测度变换，建立最小联合超对冲成本与所提定价公式的等价性。
• 利用新测度的Radon-Nikodym导数推导最小成本的一般公式，确保与持有至到期的远期价格一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 在汇率为严格局部鞅的模型中，如何恢复看跌-看涨期权平价关系？
• RQ2 当本币与外币均作为计价单位且其中一国货币可能完全贬值时，超对冲或有头寸的最小成本是多少？
• RQ3 能否构建一个一致的定价算子，即使汇率不满足鞅性质，也能尊重两种货币的度量？
• RQ4 当新计价单位可能消失（如因恶性通货膨胀）时，支持计价单位变更的数学框架是什么？
• RQ5 在何种条件下联合超对冲策略存在，且其成本等于所提出的定价算子？

主要发现

• 所提出的定价算子确保到期时支付$X_T$的远期合约价格恰好为$X_0$，与持有至到期策略保持一致。
• 即使汇率是严格局部鞅，新定价算子下的模型价格仍能恢复看跌-看涨期权平价与国际看跌-看涨期权等价性。
• 在两种计价单位测度下，联合超对冲的最小成本严格大于局部鞅测度下的期望值，反映出完全贬值的风险。
• Föllmer测度被扩展至非负局部鞅，从而可在汇率可能爆炸（对应恶性通货膨胀）的新概率测度下构造测度。
• 新测度与原始风险中性测度不等价，但关于其绝对连续，从而可在两种测度下保持一致的随机分析。
• 联合超对冲的最小成本由新测度的Radon-Nikodym导数公式表征，该公式被证明与先前文献中提出的定价算子等价，但现具有坚实的对冲基础。