[论文解读] On the Holonomy of the Coulomb Connection over Manifolds with Boundary

William E. Gryc|ArXiv.org|Oct 10, 2006

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文研究了在具有边界的紧致黎曼流形上主丛的库仑连接的holonomy，重点分析了连接的狄利克雷边界条件。研究发现，由于边界引起的涉及平均曲率的约束，单个连接处的曲率形式无法张成holonomy李代数的稠密子空间。然而，当在ℝⁿ中有界区域上的平凡丛中包含平坦连接处的一阶交换子时，张成空间变为稠密，这意味着受限holonomy群在规范群的单位连通分支中稠密。

ABSTRACT

Narasimhan and Ramadas showed that the restricted holonomy group of the Coulomb connection is dense in the connected component of the identity of the gauge group when one considers the product principal bundle $S^3 imes SU(2) o S^3$. Instead of a base manifold S^3, we consider here a base manifold of dimension $n\ge 2$ with a boundary and use Dirichlet boundary conditions on connections as defined by Marini. A key step in the method of Narasimhan and Ramadas consisted in showing that the linear space spanned by the curvature form at one specially chosen connection is dense in the holonomy Lie algebra with respect to an appropriate Sobolev norm. Our objective is to explore the effect of the presence of a boundary on this construction of the holonomy Lie algebra. Fixing appropriate Sobolev norms, it will be shown that the space spanned, linearly, by the curvature form at any one connection is never dense in the holonomy Lie algebra. In contrast, the linear space spanned by the curvature form and its first commutators at the flat connection is dense and, in the $C^\infty$ category, is in fact the entire holonomy Lie algebra. The former, negative, theorem is proven for a general principle bundle over $M$, while the latter, positive, theorem is proven only for a product bundle over the closure of a bounded open subset of $\mathbb{R}^n$. Our technique for proving absence of density consists in showing that the linear space spanned by the curvature form at one point is contained in the kernel of a linear map consisting of a third order differential operator, followed by a restriction operation at the boundary; this mapping is determined by the mean curvature of the boundary.

研究动机与目标

• 分析紧致黎曼流形（具有非空边界）上主丛的库仑连接的holonomy。
• 研究狄利克雷边界条件对曲率形式在holonomy李代数中像的稠密性的影响。
• 确定在存在边界的情况下，holonomy李代数是否仍可被稠密生成。
• 建立受限holonomy群在规范群的单位连通分支中保持稠密的条件。

提出的方法

• 分析使用连接和规范变换上的Sobolev范数，其中k > n/2 + 1以保证正则性。
• 构造线性算子T_A为T_A(f) = d_A Δ_A f + 2(n−1)H Δ_A f，其中H为边界的平均曲率。
• 证明任意连接处曲率形式的像位于T_A的核中，从而证明其在holonomy李代数中不稠密。
• 对于ℝⁿ中有界开集上的乘积丛，holonomy李代数由平坦连接处的曲率及其一阶交换子生成。
• 证明依赖于在边界附近构造具有紧支集的函数f_k，并使用截断函数η来控制边界行为。
• 关键论证基于如下事实：在边界上，d(Δf)(ν) + 2(n−1)H Δf = 0，将T_A的核与曲率像联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 当基流形具有边界时，库仑连接在单个连接处的曲率形式的像是否能张成holonomy李代数的稠密子空间？
• RQ2 边界的平均曲率如何影响曲率像在规范代数中的稠密性？
• RQ3 尽管存在边界约束，若包含曲率的交换子，holonomy李代数是否仍可被稠密生成？
• RQ4 在狄利克雷边界条件下，库仑连接的受限holonomy群是否仍保持在规范群的单位连通分支中稠密？
• RQ5 在何种条件下，曲率及其一阶交换子的张成空间能生成规范代数的完整C^∞部分？

主要发现

• 任意单个连接处曲率形式的像都包含在非平凡有界线性算子T_A的核中，该算子依赖于边界的平均曲率H，从而证明其在holonomy李代数中不可能稠密。
• 在ℝⁿ中有界区域上的乘积丛中，平坦连接处曲率形式及其一阶交换子张成的线性空间在规范代数的C^∞部分中稠密。
• 当丛为平凡丛且基为具有光滑边界的有界开集时，在狄利克雷边界条件下，库仑连接的受限holonomy群在规范群的单位连通分支中稠密。
• 单个曲率张成不稠密的原因是：一个三阶微分算子后接边界限制，该算子在曲率像上恒为零。
• 通过构造具有受控边界导数的函数f_k，确保曲率像位于T_A的核中，从而确立了非稠密性结果。
• 正面结果依赖于求解边界值问题T_0(f) = u，该问题允许从曲率及其交换子中恢复任意光滑规范参数。