[论文解读] On the infinity category of homotopy Leibniz algebras

David Khudaverdyan, Norbert Poncin+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 15被引用 5

一句话总结

本文通过证明完全李白尼兹∞-代数的神经复形构成一个 quasi-category，从而为同伦李白尼兹代数建立了∞-范畴结构，其中∞-同伦被实现为n-单纯形。证明了对于2-项李白尼兹∞-代数，该∞-范畴结构投影为严格2-范畴，恢复并推广了关于同伦复合与2-态射的已知结果。

ABSTRACT

We discuss various concepts of $\infty$-homotopies, as well as the relations between them (focussing on the Leibniz type). In particular $\infty$-$n$-homotopies appear as the $n$-simplices of the nerve of a complete Lie ${\infty}$-algebra. In the nilpotent case, this nerve is known to be a Kan complex \cite{Get09}. We argue that there is a quasi-category of $\infty$-algebras and show that for truncated $\infty$-algebras, i.e. categorified algebras, this $\infty$-categorical structure projects to a strict 2-categorical one. The paper contains a shortcut to $(\infty,1)$-categories, as well as a review of Getzler's proof of the Kan property. We make the latter concrete by applying it to the 2-term $\infty$-algebra case, thus recovering the concept of homotopy of \cite{BC04}, as well as the corresponding composition rule \cite{SS07}. We also answer a question of \cite{BS07} about composition of $\infty$-homotopies of $\infty$-algebras.

研究动机与目标

• 澄清李白尼兹∞-代数背景下∞-同伦及其复合的定义。
• 解决一个开放问题：∞-同伦的∞-态射是否可复合，尤其在先前工作中缺乏一般性证明的情况下。
• 证明在二次Koszul操作子下∞-代数的类构成一个∞-范畴，重点研究李白尼兹代数。
• 建立李白尼兹2-代数与2-项李白尼兹∞-代数之间的1:1对应关系，并证明其2-范畴是2-等价的。
• 使Getzler对幂零∞-代数神经复形的Kan性质证明在2-项情况下具体化，从而恢复已知的同伦复合规则。

提出的方法

• 利用完全李∞-代数的神经构造，将∞-n-单纯形定义为∞-同伦，将其建模为卷积代数中的Maurer-Cartan元素。
• 将Getzler对Kan性质的证明应用于2-项李白尼兹∞-代数情形，证明其神经复形为Kan复形。
• 将∞-同伦表征为∞-态射的完全卷积李∞-代数中Maurer-Cartan元素的规范或Quillen同伦。
• 通过单纯上德拉姆代数定义∞-同伦，并与同伦等价和Quillen同伦进行比较。
• 通过将∞-态射实现为MC元素，将∞-同伦实现为它们之间的同伦，从而构造同伦李白尼兹代数的 quasi-category。
• 通过证明∞-同伦的垂直复合是良定义且结合的，将∞-范畴结构在2-项情形投影为严格2-范畴。

实验结果

研究问题

• RQ1 李白尼兹∞-代数中∞-态射的∞-同伦是否可复合？若可，其条件为何？
• RQ2 完全李白尼兹∞-代数的神经复形与quasi-category及Kan复形有何关系？
• RQ3 在范畴结构上，2-项李白尼兹∞-代数与李白尼兹2-代数之间的精确关系为何？
• RQ4 ∞-代数神经复形中∞-同伦的复合在2-项情形下如何投影为严格2-范畴的复合？
• RQ5 Getzler对神经复形Kan性质的证明能否在2-项李白尼兹∞-代数设定下具体化？其是否恢复了已知的同伦复合规则？

主要发现

• 完全李白尼兹∞-代数的神经复形是一个quasi-category，从而在∞-代数类上建立了∞-范畴结构。
• 对于2-项李白尼兹∞-代数，∞-同伦的∞-范畴结构投影为一个严格2-范畴，其垂直复合是良定义且结合的。
• 本文回答了Shoikhet（2008）提出的问题：通过神经构造，∞-态射的∞-同伦可被复合，尽管一般情况下不严格结合。
• 该构造在2-项情形下恢复了[BC04]与[SS07]中的同伦复合规则，确认与先前工作的相容性。
• 李白尼兹2-代数与2-项李白尼兹∞-代数之间存在1:1对应关系，其相应的2-范畴是2-等价的。
• 在2-项情形下，神经复形的Kan性质被显式验证，为抽象的quasi-category结构提供了具体实现。