[论文解读] On the infinity of infinities of orders of the infinitely large and infinitely small

Leonhard Euler, Jordan Bell|ArXiv.org|May 14, 2009

Mathematical Dynamics and FractalsMathematics被引用 20

一句话总结

欧拉研究了无穷多阶无穷大与无穷小的存在性，证明在任意两个无穷大或无穷小量之间，无论它们相距多远，都存在无穷多个中间阶。通过几何级数和高阶超越函数——尤其是对数与指数函数——他表明，在任何有限层级之外，都会涌现出新的、截然不同的无穷大与无穷小阶，证明无穷大的谱系不仅无限，而且复杂性无界。

ABSTRACT

Translation (by J.B.) from the original Latin of Euler's "De infinities infinitis gradibus tam infinite magnorum quam infinite parvorum" (1780). E507 in the Eneström index. Euler discusses orders of infinity in this paper. In other words this paper is about how different functions approach infinity or 0 at different rates. I was not certain about what Euler means by "infinities infiniti". Probably he means that $x,x^2,x^3$, etc. are infinitely many orders of infinity, and $\log x,(\log x)^2, (\log x)^3$, etc. are infinitely many orders of infinity, so the combinations of them are an infinity of infinities of orders of infinity. In fact Euler mentions other orders of infinity in this paper. It would be worthwhile to study this paper more to figure out exactly what Euler means here. Another translation of the title is "On the infinitely infinite orders of the infinitely large and infinitely small". Here's another place Euler uses the phrase "infinities infiniti". The phrase "infinities infiniti" from the title is used by Euler also in section 21 of E302, "De motu vibratio tympanorum". Truesdell translates this phrase on p. 333 of "The rational mechanics of flexible or elastic bodies" as "infinity of infinities". I'd like to thank Martin Mattmueller for clearing up some questions.

研究动机与目标

• 确立无穷大的概念并非单一实体，而是由无穷多个不同的数量级组成。
• 证明在任意两个无穷大或无穷小量之间，即使处于几何级数中，也存在无穷多个中间阶。
• 表明高等分析——尤其是对数与指数函数——可产生超越多项式或幂次层级的、新的无穷大与无穷小阶。
• 严格分析涉及超越函数的积分在无穷小与无穷大语境下的渐近行为。
• 解决现有数学中关于无穷大阶无界性的概念空白，尤其是在微积分与分析语境下。

提出的方法

• 使用形如 $1, x, x^2, x^3, \ldots$ 的几何级数，其中 $x$ 为无穷大量，表明每一项都比前一项无穷大，同时比下一项无穷小。
• 应用递归代换：若 $x = y^{1000}$，则 $y = \sqrt[1000]{x}$ 仍为无穷大，从而在 1 与 $y^{1000} = x$ 之间可再构造 1000 个中间阶，形成新的层级结构。
• 引入对数与指数函数作为新阶的来源：对于无穷大 $x$，$\log x$ 为无穷大，但比任何 $x^{1/n}$ 都无穷小，无论 $n$ 多么大。
• 分析形如 $\int \frac{x^n}{e^{\alpha/x^\beta}} dx$ 的积分，其中 $x$ 为无穷小，表明其结果为 $\frac{1}{\alpha\beta} \frac{x^{n+\beta+1}}{e^{\alpha/x^\beta}}$，该结果代表了新的、截然不同的无穷小阶。
• 使用对数微分法推导含 $\log(1/x)$ 与 $e^{\alpha/x^\beta}$ 的函数的微分形式，从而实现原本非初等的表达式的积分。
• 证明即使引入更高阶项如 $x^m \log^n x / e^{\alpha/x^\beta}$，积分仍可表示为 $\frac{1}{\alpha\beta} \frac{x^{k+\beta+1} u^m}{v}$，揭示了一套一致的、新的无穷小阶框架。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 1 与无穷大量 $x$ 之间，是否可能存在无穷多个不同的无穷大阶？
• RQ2 对数与指数函数是否会产生标准幂次层级无法表示的新无穷大或无穷小阶？
• RQ3 涉及超越函数如 $e^{\alpha/x^\beta}$ 的积分，是否可产生超越多项式或有理形式的新、独立的无穷小阶？
• RQ4 是否可能构建一个无穷小层级，使得每一项都比前一项无穷小，但又比下一项无穷大？
• RQ5 是否存在解析表达式，用于计算由 $y = x^n e^{-\alpha/x^\beta}$ 定义的曲线下的面积，从而揭示新的无穷小阶？

主要发现

• 在几何级数 $1, x, x^2, \ldots$ 的任意两项之间，其中 $x$ 为无穷大，即使指数差固定为 1000，也存在无穷多个中间无穷大阶。
• 若 $x = y^{1000}$，则 $y = \sqrt[1000]{x}$ 仍为无穷大，从而可在 1 与 $x$ 之间构造另一组 1000 个中间阶，且该过程可无限迭代。
• 对任意无穷大 $x$，$\log x$ 为无穷大，但比任何 $x^{1/n}$ 都无穷小，无论 $n$ 多么有限，这证明对数增长定义了一个独立的、更低阶的无穷大。
• 积分 $\int \frac{x^n}{e^{\alpha/x^\beta}} dx = \frac{1}{\alpha\beta} \frac{x^{n+\beta+1}}{e^{\alpha/x^\beta}}$ 对无穷小 $x$ 成立，表明此类表达式定义了新的、截然不同的无穷小阶。
• 当 $y = \frac{a x^n}{e^{\alpha/x^\beta}}$ 时，曲线下方面积为 $\int y dx = \frac{1}{\alpha\beta} x^{\beta+1} y$，该结果为闭式表达，揭示了一类新的无穷小量。
• 即使包含对数项 $\log(1/x)$，积分 $\int \frac{x^k u^m}{e^{\alpha/x^\beta}} dx$ 仍可表示为 $\frac{1}{\alpha\beta} \frac{x^{k+\beta+1} u^m}{e^{\alpha/x^\beta}}$，证实了无穷小阶存在一个一致且无界的层级结构。