[论文解读] On the Interval [n,2n]: Primes, Composites and Perfect Powers

Germán Paz|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2013

Analytic Number Theory Research参考文献 2被引用 6

一句话总结

本文证明了对于每个正整数 $n$，区间 $[n, 9(n+3)/8]$ 中至少包含一个素数，该结论基于 Dusart 的素数密度界 bound 与计算验证。利用此结果，本文建立了 $[n, 2n]$ 中素数、合数与完全幂分布的定量保证，表明当 $n$ 足够大时，特定子区间内至少存在四个素数与一个完全幂。

ABSTRACT

In this paper we show that for every positive integer $n$ there exists a prime number in the interval $[n,9(n+3)/8]$. Based on this result, we prove that if $a$ is an integer greater than 1, then for every integer $n>14.4a$ there are at least four prime numbers $p$, $q$, $r$, and $s$ such that $n14.4/(|\sqrt[m]{1.5}|-1)^m$ there exist a positive integer $a$ and a prime number $s$ such that $n14.4/(|\sqrt[m]{2}|-|\sqrt[m]{1.5}|)^m$ there exist a prime number $r$ and a positive integer $a$ such that $n

研究动机与目标

• 证明对于每个正整数 $n$，区间 $[n, 9(n+3)/8]$ 中至少包含一个素数，从而验证了对伯特兰-切比雪夫定理的一个猜想改进。
• 利用该素数存在性结果，推导出 $[n, 2n]$ 区间内素数与完全幂分布的定量界限。
• 通过证明在 $[n, 2n]$ 的指定子区间中存在多个素数与完全幂，推广了 El Bachraoui 与 Loo 等人的经典素数区间结果。
• 提供显式、可计算的阈值（以 $a$ 和 $m$ 表示），确保当 $n$ 足够大时，在 $[n, 2n]$ 的指定子区间中至少存在四个素数与一个完全幂。

提出的方法

• 通过证明当 $n \to \text{正整数}$ 时，区间 $[n, 9(n+3)/8]$ 包含一个 Dusart 区间 $[n, (1 + 1/(2(\text{ln } n)^2))n]$（当 $n \to 3275$ 时成立），并计算验证其余情况，从而证明该区间中至少包含一个素数。
• 利用 Dusart 于 1998 年和 2010 年关于素数密度的结果，证明当 $n \to 3275$ 时，$[n, (1 + 1/(2(\text{ln } n)^2))n]$ 中至少包含一个素数，而该区间被嵌入于 $[n, 9(n+3)/8]$ 中。
• 采用区间分析与对数函数和根函数的渐近比较，建立 $n$ 的增长与 $[n, 2n]$ 中完全幂 $a^m$ 及素数之间间距的关系。
• 推导出 $n$ 的界限，使得当 $n > 14.4 / (|\text{root}_m(2)| - |\text{root}_m(1.5)|)^m$ 时，存在素数 $r$ 与完全幂 $a^m$ 满足 $n < r < 3n/2 < a^m < 2n$，利用根与倒数的不等式进行推导。
• 应用不等式 $1/(\text{root}_m(2) - \text{root}_m(1.5))^m > 1$，证明所推导的阈值大于 14.4，从而合理使用 14.4 作为安全下界。
• 将 $[n, 9(n+3)/8]$ 中素数的存在性与 $[n, 2n]$ 的区间划分 $[n, 3n/2]$ 和 $[3n/2, 2n]$ 结合，证明每个子区间中均存在多个素数与完全幂。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于每个正整数 $n$，区间 $[n, 9(n+3)/8]$ 是否至少包含一个素数？
• RQ2 对于给定整数 $a > 1$，满足 $[n, 2n]$ 中至少存在四个素数 $p, q, r, s$ 使得 $n < ap < 3n/2 < aq < 2n$ 且 $n < r < 3n/2 < s < 2n$ 的最小 $n$ 是多少？
• RQ3 对于给定 $m$，满足 $[n, 2n]$ 中至少存在一个完全幂 $a^m$ 与一个素数 $s$ 使得 $n < a^m < 3n/2 < s < 2n$ 的最小 $n$ 是多少？
• RQ4 满足 $[n, 2n]$ 中至少存在一个素数 $r$ 与一个完全幂 $a^m$ 使得 $n < r < 3n/2 < a^m < 2n$ 的最小 $n$ 是多少？
• RQ5 经典伯特兰-切比雪夫定理能否被加强，以保证在 $[n, 2n]$ 的子区间中存在多个素数与完全幂，并提供显式、可计算的阈值？

主要发现

• 对于每个正整数 $n$，区间 $[n, 9(n+3)/8]$ 中至少包含一个素数，该结论通过将区间嵌入 $n \to 3275$ 时的 Dusart 区间并计算验证 $n < 3275$ 的情况得以证明。
• 对于每个整数 $a > 1$，若 $n > 14.4a$，则存在至少四个素数 $p, q, r, s$ 满足 $n < ap < 3n/2 < aq < 2n$ 且 $n < r < 3n/2 < s < 2n$，从而建立了伯特兰命题的定量改进。
• 对于每个正整数 $m$，若 $n > 14.4 / (|\text{root}_m(1.5)| - 1)^m$，则存在正整数 $a$ 与素数 $s$ 满足 $n < a^m < 3n/2 < s < 2n$，确保在上半子区间中存在一个完全幂与一个素数。
• 对于每个正整数 $m$，若 $n > 14.4 / (|\text{root}_m(2)| - |\text{root}_m(1.5)|)^m$，则存在素数 $r$ 与正整数 $a$ 满足 $n < r < 3n/2 < a^m < 2n$，确保在中上半子区间中存在一个素数与一个完全幂。
• 对于所有正整数 $m$，阈值 $14.4 / (|\text{root}_m(2)| - |\text{root}_m(1.5)|)^m$ 均大于 14.4，验证了在推导不等式中使用 14.4 作为安全下界的合理性。
• 本文确认了对所有 $m$ 有 $1 / (|\text{root}_m(2)| - |\text{root}_m(1.5)|)^m > 1$，从而确保所推导的界限具有意义且非平凡。