[论文解读] On the inverse power index problem

Sascha Kurz|SSRN Electronic Journal|Nov 27, 2012

Game Theory and Voting Systems被引用 7

一句话总结

本文提出了加权投票博弈中逆权力指数问题的第一个精确算法，采用整数线性规划（ILP）寻找最匹配目标影响力分布的投票权重。研究证明，对于Shapley-Shubik指数和Banzhaf指数，分布(0.75, 0.25, 0, ..., 0)在n ≤ 16名选民的情况下均极难近似，计算结果显示其最小距离分别为1/3和0.378。

ABSTRACT

Weighted voting games are frequently used in decision making. Each voter has a weight and a proposal is accepted if the weight sum of the supporting voters exceeds a quota. One line of research is the efficient computation of so-called power indices measuring the influence of a voter. We treat the inverse problem: Given an influence vector and a power index, determine a weighted voting game such that the distribution of influence among the voters is as close as possible to the given target value. We present exact algorithms and computational results for the Shapley-Shubik and the (normalized) Banzhaf power index.

研究动机与目标

• 解决逆权力指数问题：给定目标影响力向量，寻找一个加权投票博弈，使其权力指数分布尽可能接近目标。
• 开发一种超越暴力枚举的精确算法，用于在给定权力指数下计算最优投票权重。
• 研究权力分布的最坏情况近似性质，特别是(0.75, 0.25, 0, ..., 0)向量。
• 刻画Banzhaf与Shapley-Shubik指数在小规模选民数量下的可实现权力分布集合。
• 提供计算证据，说明在现实投票系统中近似理想权力分布的可行性和局限性。

提出的方法

• 将逆权力指数问题表述为整数线性规划（ILP），其中决策变量为投票权重，约束条件用于强制实现期望的权力指数分布。
• 使用归一化的Banzhaf与Shapley-Shubik权力指数作为目标函数，以最小化目标影响力向量与计算出的影响力向量之间的L1距离。
• 通过小规模n（n ≤ 16）的加权投票博弈的完整枚举进行精确计算，并结合ILP优化方法处理更大规模实例。
• 在ILP公式中采用按权重排序的选民字典序，以减少对称性并提高计算效率。
• 使用固定点启发式方法作为基准，用于比较精确ILP方法的性能。
• 通过二维投影（如选民1对选民2）可视化可实现的权力分布集合，使用彩色像素表示法展示可实现点的密度，适用于n = 6至9的情况。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于n ≤ 15名选民的加权投票博弈，Shapley-Shubik指数下，目标权力分布(0.75, 0.25, 0, ..., 0)与任何可实现权力向量之间的最小L1距离是多少？
• RQ2 Banzhaf权力指数在多大程度上能近似(0.75, 0.25, 0, ..., 0)目标分布？对于n ≤ 16，其最坏情况下的近似误差是多少？
• RQ3 是否存在可实现权力分布集合的结构性质，能够解释为何某些向量（如(0.75, 0.25, 0, ..., 0)）极难近似？
• RQ4 所提出的基于ILP的方法能否精确求解现实投票系统（如欧盟的子集）中的逆权力指数问题？
• RQ5 该(0.75, 0.25, 0, ..., 0)分布是否对两种权力指数均为最坏情况目标，且随着n增加该结论是否依然成立？

主要发现

• 对于Shapley-Shubik指数，所有n ≤ 15名选民的加权投票博弈中，与目标(0.75, 0.25, 0, ..., 0)之间的最小L1距离至少为1/3。
• 对于Banzhaf指数，与同一目标的最小L1距离为0.3783563，该结果在15名选民的博弈中实现，其权重为[466; 367, 99, 99, 99, 70, 29, 29, 12, 12, 5, 5, 2, 2, 1, 1]。
• 在增加一名零权重选民的16名选民博弈中，该最小距离0.3783563保持不变，表明该困难实例具有鲁棒性。
• 两种指数的可实现权力分布集合并非均匀密集；靠近(0.75, 0.25)的区域仍稀疏分布，表明存在内在的近似限制。
• 计算结果表明，所提出的ILP方法可精确求解n ≤ 16的情况，最坏16名选民实例的运行时间长达2.34天。
• 研究证实，(0.75, 0.25, 0, ..., 0)向量是近似过程中的关键案例，极有可能代表了两种权力指数的最坏情况。