[论文解读] On the irreducibility of associated varieties of W-algebras

Tomoyuki Arakawa, Anne Moreau|arXiv (Cornell University)|Aug 10, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 29被引用 5

一句话总结

本文研究了 W-代数的关联概形的不可约性，重点关注作为 W-代数关联概形出现的幂零 Slodowy 截面。在已知的关联概形具有有限多个辛叶的情况下，本文确认了这些概形的不可约性，并给出了新的顶点代数示例——具体而言，是类型 B_r 在等级 -2 的简单仿射顶点代数——其关联概形为短幂零轨道的闭包，证明其不可约且为 lisse 代数。

ABSTRACT

We investigate the irreducibility of the nilpotent Slodowy slices that appear as the associated variety of W-algebras. Furthermore, we provide new examples of vertex algebras whose associated variety has finitely many symplectic leaves.

研究动机与目标

• 验证在关联概形具有有限多个辛叶的情况下，W-代数关联概形的不可约性。
• 确认作为 W-代数关联概形出现的幂零 Slodowy 截面的不可约性猜想。
• 构造关联概形中具有有限多个辛叶的顶点代数的新示例。
• 证明 [AM16] 中关于 Drinfeld-Sokolov 约化下关联概形结构的猜想。
• 确立类型 B_r 在等级 -2 的简单仿射顶点代数的关联概形为短幂零轨道的闭包。

提出的方法

• 分析作为幂零轨道闭包与 Slodowy 截面交集的幂零 Slodowy 截面的几何结构。
• 应用李代数与幂零轨道表示理论中的深刻结果，以确定这些截面的不可约性。
• 使用 Drinfeld-Sokolov 约化函子，将顶点代数的关联概形与 Slodowy 截面的几何联系起来。
• 应用 Jantzen 的单性判别准则，证明某些上同调模是单的，从而推出 lisse 顶点代数。
• 采用 Zhu 的 C2-代数构造，将关联概形实现为一个 Poisson 代数的谱。
• 利用顶点代数的关联概形是有限多个辛叶的并这一事实，并研究 G-不变子概形以推导出不可约性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当关联概形具有有限多个辛叶时，W-代数的关联概形是否不可约？
• RQ2 哪些幂零 Slodowy 截面作为 W-代数的关联概形出现，且是否不可约？
• RQ3 在等级 -2 下对简单仿射顶点代数进行 Drinfeld-Sokolov 约化是否产生 lisse 顶点代数？
• RQ4 能否将类型 B_r 在等级 k = -2 的简单仿射顶点代数的关联概形识别为短幂零轨道的闭包？
• RQ5 在等级 -2 下通过 Drinfeld-Sokolov 约化得到的顶点代数的关联概形是否不可约？

主要发现

• 类型 B_r 在等级 -2 的简单仿射顶点代数的关联概形为短幂零轨道的闭包，该闭包不可约。
• 在短幂零轨道上对这一顶点代数进行 Drinfeld-Sokolov 约化，得到一个与中心荷为 c_{2,2r-3} 的 Virasoro 代数同构的简单、lisse 顶点代数。
• 通过在等级 -2 下对 Drinfeld-Sokolov 约化构造的 W-代数的关联概形是不可约的，且与短幂零轨道的闭包一致。
• 在所有已知的关联概形具有有限多个辛叶的情况下，其不可约性均得到确认，支持了不可约性猜想。
• 证明了 [AM16, 猜想 2]，确立了一个具有有限多个辛叶的新顶点代数类。
• 证明了在等级 k = -2 下，顶点代数 V_k(so_{2r+1}) 的关联概形是 G-不变的，且等于短幂零轨道的闭包，从而确认了其不可约性。