[论文解读] Sheets and associated varieties of affine vertex algebras

Tomoyuki Arakawa, Anne Moreau|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 29被引用 9

一句话总结

本文证明了半单李代数的对偶空间中的片层闭包（sheet closures）作为仿射顶点代数的关联簇（associated varieties）出现，尤其在非允许水平下。研究证明，$V_{-1}(\mathfrak{sl}_n)$ 的关联簇是对应于省略第一个单根的勒维子代数的片层闭包，并通过 Zhu 代数分析与泊松顶点代数结构，验证了关于可积性与 $C_2$-余有限性的猜想，从而构造出新的光滑 $W$-代数。

ABSTRACT

We show that sheet closures appear as associated varieties of affine vertex algebras. Further, we give new examples of non-admissible affine vertex algebras whose associated variety is contained in the nilpotent cone. We also prove some conjectures from our previous paper and give new examples of lisse affine W-algebras.

研究动机与目标

• 确定非允许水平下仿射顶点代数的关联簇，特别是当它们不包含在幂零锥内时。
• 研究关联簇是否可以是非幂零若尔当代数类（即片层）的闭包，从而扩展此前仅得到幂零轨道闭包或整个对偶空间结果的研究。
• 验证并扩展先前工作中关于最小 $W$-代数光滑性的猜想，特别是针对例外李型。
• 通过关联簇建立仿射顶点代数表示理论与李代数中片层几何之间的联系。

提出的方法

• 利用 Zhu $C_2$-代数构造，为仿射顶点代数 $V$ 定义关联簇 $X_V = \operatorname{Specm} R_V$。
• 应用泊松顶点代数与弧概形理论，将 $\operatorname{gr} V$ 与片层闭包 $\overline{\SS}$ 的无限喷射概形 $J_\infty \overline{\SS}$ 关联起来。
• 利用同构 $SS(V)_{\text{red}} \cong (J_\infty \overline{\SS})_{\text{red}}$ 将关联簇识别为某一片层的闭包。
• 通过分解 $\mathfrak{g}^\natural = \bigoplus \mathfrak{g}_i^\natural$ 及其关联顶点代数嵌入到 $W$-代数中的结构，分析 $\mathcal{W}^k(\mathfrak{g}, f_\theta)$ 的结构。
• 利用 $S(\mathfrak{g}^e)$ 上的基罗夫-科斯坦泊松括号与泊松理想理论，证明若所有 $k_i^\natural \in \mathbb{Z}_{\geq 0}$，则 $\sqrt{I} = S(\mathfrak{g}^e)$，从而推出 $\mathcal{W}^k(\mathfrak{g}, f_\theta)$ 是光滑的。
• 验证 $V^{k_i^\natural}(\mathfrak{g}_i^\natural)$ 中的奇异向量映射到 $\mathcal{W}^k(\mathfrak{g}, f_\theta)$ 中的非零奇异向量，确保非平凡性并支持光滑性条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非允许水平下，仿射顶点代数的关联簇是否可以是 $\mathfrak{g}^*$ 的一个真、非幂零子簇，例如片层闭包？
• RQ2 $V_k(\mathfrak{g})$ 的关联簇是否同构于某个勒维子代数 $\mathfrak{l} \subset \mathfrak{g}$ 的片层 $\overline{\SS_{\mathfrak{l}}}$ 的闭包？
• RQ3 在什么条件下，最小 $W$-代数 $\mathcal{W}_k(\mathfrak{g}, f_\theta)$ 是光滑的，特别是对于非类型 A 的李代数？
• RQ4 当 $k = -h^\vee/6 - 1$ 且 $\mathfrak{g}$ 属于德利涅例外系列时，$V_k(\mathfrak{g})$ 的关联簇是否与最小幂零轨道的闭包一致？
• RQ5 能否证明 Zhu 代数 $R_{\mathcal{W}^k(\mathfrak{g}, f_\theta)}$ 同构于 $\mathbb{C}[\mathscr{S}_{f_\theta}]/I$，且满足 $\sqrt{I} = S(\mathfrak{g}^e)$，从而推出光滑性？

主要发现

• 当 $n \geq 4$ 时，$V_{-1}(\mathfrak{sl}_n)$ 的关联簇同构于片层 $\overline{\SS_{\mathfrak{l}_1}}$ 的闭包，其中 $\mathfrak{l}_1$ 是省略第一个单根的勒维子代数。
• 当 $m \geq 2$ 时，$V_{-m}(\mathfrak{sl}_{2m})$ 的关联簇同构于 $\overline{\SS_{\mathfrak{l}_0}}$，其中 $\mathfrak{l}_0$ 是省略第 $m$ 个单根的勒维子代数。
• $\mathcal{W}_k(G_2, f_\theta)$ 的关联簇为 $\overline{\mathbb{O}_{\text{min}}}$，当 $k \in \mathbb{Z}_{\geq 0}$ 时，确认了该族的光滑性。
• $\mathcal{W}_k(\mathfrak{g}, f_\theta)$ 是光滑的，当且仅当对所有 $i \geq 1$，有 $k_i^\natural \in \mathbb{Z}_{\geq 0}$，其中 $k_i^\natural$ 是 $\mathfrak{g}^\natural$ 各分量关联的水平。
• $V_k(\mathfrak{g})$ 的关联簇为 $\{0\}$，当且仅当 $k \in \mathbb{Z}_{\geq 0}$，这在允许情形下确认了可积性与光滑性。
• 本文验证了 [AM15] 中的猜想：当 $\mathfrak{g} = G_2$ 时，$\mathcal{W}_k(\mathfrak{g}, f_\theta)$ 是光滑的，当且仅当 $3k + 5 \in \mathbb{Z}_{\geq 0}$，并将其推广至其他例外类型。