[论文解读] On the K-theory stable bases of the Springer resolution

Changjian Su, Gufang Zhao+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2017

Advanced Algebra and Geometry参考文献 21被引用 12

一句话总结

本文通过仿射 Hecke 代数作用和根多项式，建立了关于 $T^*G/B$ 上稳定基的 K-理论限制公式。它通过扭曲群代数对 K-理论稳定基给出了代数描述，证明了部分旗流形上的限制公式，并将稳定基与 Langlands 对偶的无 ramified 主系数表示中的 Casselman 基联系起来，从而得到了两者之间过渡矩阵的闭式表达。

ABSTRACT

Cohomological and K-theoretic stable bases originated from the study of quantum cohomology and quantum K-theory. Restriction formula for cohomological stable bases played an important role in computing the quantum connection of cotangent bundle of partial flag varieties. In this paper we study the K-theoretic stable bases of cotangent bundles of flag varieties. We describe these bases in terms of the action of the affine Hecke algebra and the twisted group algebra of Kostant-Kumar. Using this algebraic description and the method of root polynomials, we give a restriction formula of the stable bases. We apply it to obtain the restriction formula for partial flag varieties. We also build a relation between the stable basis and the Casselman basis in the principal series representations of the Langlands dual group. As an application, we give a closed formula for the transition matrix between Casselman basis and the characteristic functions.

研究动机与目标

• 开发 $T^*G/B$ 上 Springer 上下文的 K-理论类比于上同调稳定基。
• 推导旗流形余切丛上 K-理论稳定基的限制公式。
• 在 Langlands 对偶群的无 ramified 主系数表示中，建立 K-理论稳定基与 Casselman 基之间的联系。
• 为 Casselman 基与 K-理论中特征函数之间的过渡矩阵提供闭式表达。
• 将根多项式方法推广至 K-理论，通过 Hecke 代数作用实现稳定基的代数计算。

提出的方法

• 作者使用刚性技巧计算仿射 Hecke 代数对稳定基的作用，从而通过 Kostant-Kumar 的扭曲群代数实现其代数刻画。
• 通过等变 $K$-理论 $K_{G imes bC^*}(Z)$ 的作用定义稳定基，该理论同构于仿射 Hecke 代数。
• 利用根多项式推导限制公式，将 Billey–Graham–Willems 方法推广至 K-理论，显式表达涉及 $q$-变形和 $e^\alpha$-项。
• 该方法涉及通过 $T_w'$ 和 $T_w$ 算子计算限制，其中归一化因子包含 $q^{-\ell(w)/2}$ 和 $q^{\ell(w_{0}w)/2}$。
• 通过 Whittaker 泛函和 $\tilde{L}_\tau$ 映射建立与 Casselman 基的联系，该映射将等变欧拉示性数修改为匹配 $K$-理论 Whittaker 函数。
• 通过 $\tilde{\Gamma}_\tau(\mu)$ 构造和 $\tilde{W}_\tau(\mu)$ 泛函计算 Casselman 基与特征函数之间的过渡矩阵。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用仿射 Hecke 代数和扭曲群代数，代数地描述 $T^*G/B$ 上的 K-理论稳定基？
• RQ2 K-理论稳定基在部分旗流形上的限制公式是什么？它如何推广到上同调情形？
• RQ3 K-理论稳定基与 Langlands 对偶群的无 ramified 主系数表示中的 Casselman 基之间有何关系？
• RQ4 Casselman–Shalika 公式的 $K$-理论解释是什么？它与 Whittaker 函数有何关联？
• RQ5 是否可以为等变 $K$-理论中 Casselman 基与特征函数之间的过渡矩阵推导出闭式表达？

主要发现

• K-理论稳定基 $\operatorname{stab}_{\pm}(w)$ 由仿射 Hecke 代数的作用生成：$\operatorname{stab}_{+}(w) = q^{-\ell(w)/2} T_{w^{-1}}' \cdot \operatorname{stab}_{+}(e)$ 和 $\operatorname{stab}_{-}(w) = q^{\ell(w_{0}w)/2} (T_{w_{0}w})^{-1} \cdot \operatorname{stab}_{-}(w_0)$。
• 建立了限制公式：$\operatorname{stab}_{+}(w)|_v = q^{-\ell(w)/2} v(a^{+}_{w^{-1},v^{-1}}) \prod_{\alpha>0}(1-e^{\alpha})$，类似地，$\operatorname{stab}_{-}(w)$ 的表达式涉及 $K^{\tau}_{w,v}$ 和 $q$-变形项。
• Casselman 基与特征函数之间的过渡矩阵由包含 $\tilde{\Gamma}_\tau(\mu)$ 和 $e^{\alpha}$-项的 $q$-变形的闭式给出。
• $K$-理论 Whittaker 泛函 $\tilde{L}_\tau$ 定义为 $\prod_{\beta>0}(1-q^{-1}e^{\beta}(\tau)) \cdot p_*(-\otimes \mathcal{O}(\rho))$，与 $K$-理论 Whittaker 函数的类比一致。
• Casselman–Shalika 公式在 $K$-理论中被解释为：$\tilde{W}_\tau(\mu) = W_\tau(\varpi^\mu)$，确认了经典公式的 $K$-理论版本。
• Casselman 基与特征函数之间的过渡矩阵显式计算为 $q^{\dim G/B} \delta_B(\varpi^\mu)^{1/2} \sum_w e^{w\mu}(\tau) \prod_{\beta>0} \frac{1 - q^{-1} e^{-w\beta}(\tau)}{1 - e^{-w\beta}(\tau)}$。